In matematica, lo studio delle topologie su un insieme consiste nel confrontare le diverse topologie di cui può essere dotato un dato insieme X. Tali topologie formano un insieme parzialmente ordinato, e questa relazione d'ordine, detta relazione di finezza, può essere usata per confrontare due topologie diverse.
Definizione
[modifica | modifica wikitesto]Uno spazio topologico consiste in un insieme X e una topologia T. La topologia T è una collezione di sottoinsiemi di X, detti aperti. Se due topologie T1 e T2 sono tali che T1 è contenuta in T2 (in altre parole, gli aperti di T1 sono anche aperti di T2), allora si dice che T2 è più fine di T1.[1]
La classe delle topologie risulta così parzialmente ordinata.
Reticolo di topologie
[modifica | modifica wikitesto]L'insieme delle topologie su X ha un minimo assoluto, dato dalla topologia banale (che è meno fine di qualsiasi altra topologia), ed un massimo assoluto, dato dalla topologia discreta (che è più fine di qualsiasi altra topologia).
L'insieme delle topologie è un reticolo: ogni collezione di topologie ha un minimo comune (le loro intersezioni) ed un massimo comune (generato dalle loro unioni).
Esempi
[modifica | modifica wikitesto]Uno spazio di funzioni ammette spesso diverse topologie. Ad esempio, lo spazio delle funzioni continue definite sull'intervallo [0, 1] può essere dotato della topologia della convergenza puntuale o della convergenza uniforme: la seconda è meno fine della prima.
Nella lista seguente, ogni topologia è più fine delle precedenti: Topologia banale · Cofinita · di Zariski · Euclidea · di Sorgenfrey · Discreta.
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ M. Manetti, p. 39.
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- Marco Manetti, Topologia, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7.
