In matematica, in particolare in analisi funzionale, le topologie operatoriali debole e forte sono due topologie operatoriali sull'insieme ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)}$ degli operatori limitati tra due spazi di Hilbert ${\displaystyle (X,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{X})}$ e ${\displaystyle (Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{Y})}$. Come suggerito dal nome, la topologia operatoriale debole è più debole della topologia operatoriale forte.

La topologia operatoriale debole è la topologia più debole su ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)}$ tale che il funzionale che manda un operatore limitato ${\displaystyle T\in {\mathcal {L}}(X,Y)}$ in ${\displaystyle \ell (Tx)}$ risulti continuo per ogni ${\displaystyle x\in X}$ e ${\displaystyle \ell \in Y^{*}}$, dove ${\displaystyle Y^{*}}$ denota lo spazio duale ${\displaystyle Y}$. Per il teorema di rappresentazione di Riesz, una base di intorni di un operatore limitato ${\displaystyle T}$ è data dalla famiglia di insiemi

${\displaystyle \{V:X\to Y{\text{ operatore limitato}}\mid |\langle V(x)-T(x),y\rangle _{Y}|<\varepsilon \ \forall (x,y)\in S\}}$

al variare di ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}}$ e di ${\displaystyle S\subset X\times Y}$ di cardinalità finita.

La topologia operatoriale debole non va confusa con la topologia debole per spazi di Banach su ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)}$. Questa infatti è la topologia più debole che rende continui tutti i funzionali lineari limitati su ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)}$, non solo quelli della forma ${\displaystyle T\mapsto \ell (Tx)}$.

La topologia operatoriale forte è la topologia più debole su ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)}$ tale che il funzionale che manda un operatore limitato ${\displaystyle T:X\to Y}$ in ${\displaystyle Tx}$ risulti continuo per ogni ${\displaystyle x\in X}$. Una base di intorni di un operatore limitato ${\displaystyle T}$ è data dalla famiglia di insiemi

${\displaystyle \{V:X\to Y{\text{ operatore limitato}}\mid \|V(x)-T(x)\|_{Y}<\varepsilon \ \forall x\in S\}}$

al variare di ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}}$ e di ${\displaystyle S\subset X}$ di cardinalità finita.

• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Bounded Operators, in Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

V · D · M Topologia
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Topologia algebrica	Fondamenti Spazio semplicemente connesso · Gruppo fondamentale Omotopia Arco · Nerbo · Omotopia · Gruppi di omotopia Omologia e coomologia Omologia · Omologia singolare · Omologia ciclica · Algebra omologica · Coomologia di De Rham · Categoria abeliana Sollevamento Sollevamento · Teorema del sollevamento dell'omotopia · Teorema di unicità del sollevamento · Teorema di Van Kampen Topologia algebrica avanzata Grado topologico · Indice di avvolgimento · Indice di un campo vettoriale · Rivestimento · Numero di Betti · Successione di Mayer-Vietoris · Successione esatta · Successione spettrale · Complesso simpliciale · Complesso di celle · Complesso di catene · Schema simpliciale Superfici Caratteristica di Eulero · Formula di Eulero per i poliedri · Genere · Taglio · Superficie incompressibile · Classificazione delle superfici · Mapping class group · Teorema della palla pelosa · Teorema di Poincaré-Hopf · Congettura di Poincaré · Congettura di Hodge
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