Uno spazio vettoriale in generale non ha una sola base, e solitamente si trattano spazi con infinite basi possibili. Il teorema della dimensione per spazi vettoriali afferma che tutte le possibili basi di uno stesso spazio hanno la stessa cardinalità, sono formate cioè sempre dallo stesso numero di vettori.^[7] Questo numero è la dimensione dello spazio, e permette di definire spazi di dimensione arbitrariamente alta. La dimensione dello spazio è inoltre uguale sia al massimo numero di vettori indipendenti che esso contiene, sia al minimo numero di vettori necessari per generare lo spazio stesso.

Si proverà che ogni spazio vettoriale ha una base, cioè ogni spazio vettoriale ha un insieme massimale linearmente indipendente. Sia ${\displaystyle V}$ uno spazio vettoriale su un campo ${\displaystyle \mathbb {K} }$, ${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}\}\subseteq V}$ è linearmente indipendente se ${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\dots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=0\iff a_{i}=0,\forall i=0,1,\dots ,n}$, con ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {K} ,\forall i=0,1,\dots ,n}$. Se si considera ${\displaystyle U\subseteq V}$, non necessariamente finito, ${\displaystyle U}$ è linearmente indipendente se ogni sottoinsieme finito di ${\displaystyle U}$ è linearmente indipendente.

Si proverà che per ogni ${\displaystyle U\subseteq V}$, ${\displaystyle U}$ è linearmente indipendente, esiste un insieme ${\displaystyle U\subseteq W\subseteq V}$ tale che ${\displaystyle W}$ è linearmente indipendente massimale. Innanzitutto, in ogni spazio vettoriale, l'insieme vuoto è linearmente indipendente, ciò scende banalmente dal fatto che una somma vuota è nulla. Si consideri il seguente insieme${\displaystyle F=\{W\subseteq V|U\subseteq W\,{\textrm {e}}\,W\,{\grave {\textrm {e}}}\,{\textrm {linearmente}}\,{\textrm {indipendente}}\}}$. Si consideri ${\displaystyle (F,\subset )}$ , il quale è un ordine parziale. Si proverà, ora, che ${\displaystyle (F,\subset )}$ soddisfa le ipotesi del lemma di Zorn. Si osservi che ${\displaystyle F}$ è un insieme non vuoto, in quanto ${\displaystyle U\in F}$ e ${\displaystyle U}$ è linearmente indipendente (per ipotesi). Si proverà, adesso, che ${\displaystyle \subset }$ è induttivo su ${\displaystyle F}$. Sia ${\displaystyle G\subseteq F}$ una catena in ${\displaystyle F}$. Si proverà che ${\displaystyle \cup G}$ è un maggiorante di ${\displaystyle G}$ in ${\displaystyle F}$. Si supponga, per assurdo, che ${\displaystyle \cup G}$ non sia linearmente indipendente, ovvero esistono ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ e ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}\in \cup G}$, e ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}\in F}$ non tutti nulli tali che ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}=0}$. Dato che ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}\in \cup G}$, allora ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}\in U_{i},\forall i=1,2,\dots ,n}$. Sia ${\displaystyle U^{*}=\max\{U_{1},U_{2},\dots ,U_{n}\}}$, il quale esiste in quanto si sta operando in una catena. Allora ${\displaystyle U^{*}\in G}$, e inoltre ${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}\}\subseteq U^{*}}$. Dunque, per quanto detto sopra, ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}=0}$, segue che ${\displaystyle U^{*}}$ non è linearmente indipendente, contro l'ipotesi che ${\displaystyle U\in F}$. Di conseguenza, ${\displaystyle U^{*}}$ deve essere linearmente indipendente, a fortiori, ${\displaystyle \cup G}$ è linearmente indipendente.

Dunque ${\displaystyle (F,\subset )}$ soddisfa le condizioni del lemma di Zorn. Quindi, in ${\displaystyle F}$, esistono elementi massimalei che estendono l'insieme ${\displaystyle U}$. Ognuno di essi è una base di ${\displaystyle V}$ che estende ${\displaystyle U}$ stesso. In particolare, essendo l'insieme vuoto linearmente indipendente, si conclude che esiste una base in ogni spazio vettoriale.

Sia ${\displaystyle K}$ un campo. L'insieme ${\displaystyle K^{n}}$ è uno spazio vettoriale di dimensione ${\displaystyle n}$. Si definisce base canonica di ${\displaystyle K^{n}}$ l'insieme di vettori:^[1]

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}=(1,0,\cdots ,0)}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}=(0,1,\cdots ,0)}$

${\displaystyle \cdots }$

${\displaystyle \mathbf {e} _{n}=(0,0,\cdots ,1)}$

Ogni vettore ${\displaystyle \mathbf {w} \in K^{n}}$ si può allora scrivere come combinazione lineare dei vettori di base:

${\displaystyle \mathbf {w} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {e} _{i}}$

Il vettore:

${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})}$

è il vettore delle coordinate di ${\displaystyle \mathbf {w} }$ rispetto alla base canonica.^[10] Solitamente si identifica un vettore attraverso le sue coordinate rispetto alla base canonica, ovvero ${\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {a} }$.

Ad esempio, i vettori ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}=(1,0)}$ ed ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}=(0,1)}$ sono una base di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, infatti ogni vettore ${\displaystyle \mathbf {c} =(a,b)}$ si scrive come:

${\displaystyle (a,b)=a(1,0)+b(0,1)=a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2}}$

Una base di Hamel per uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ è un insieme ${\displaystyle \{v_{i}\}_{i\in I}}$ di vettori linearmente indipendenti^[11], parametrizzato da un insieme ordinato ${\displaystyle I}$ di indici, tale che ogni vettore ${\displaystyle v}$ di ${\displaystyle V}$ è combinazione lineare di un insieme finito di questi.

Nel caso in cui ${\displaystyle I}$ è un insieme finito, la definizione coincide con quella data precedentemente.

Grazie al lemma di Zorn ogni spazio vettoriale ha una base di Hamel, ed inoltre due basi di Hamel qualsiasi di uno stesso spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità, che è pari alla dimensione (di Hamel) dello spazio vettoriale. Infine, continua a rimanere vero il fatto che ogni vettore dello spazio ${\displaystyle V}$ si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori di una base di Hamel.

Ad esempio, una base di Hamel per lo spazio vettoriale ${\displaystyle V=K[x]}$ formato da tutti i polinomi a coefficienti in un campo ${\displaystyle K}$ è data dall'insieme di tutti i monomi:

${\displaystyle \{x^{i}\}_{i\in \mathbb {N} }=\{1,x,x^{2},x^{3},\ldots \}}$

Infatti ogni polinomio ${\displaystyle a_{n}x^{n}+\ldots a_{1}x+a_{0}}$ è combinazione lineare di un insieme finito di questi.

L'insieme dei numeri reali può essere considerato uno spazio vettoriale su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Ne consegue che ogni numero reale può essere espresso come combinazione lineare finita di elementi presi da un sottoinsieme proprio di ${\displaystyle \mathbb {R} }$: tale sottoinsieme non potrà essere finito o numerabile poiché ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ha la potenza del continuo (analoghe considerazioni possono essere fatte considerando ${\displaystyle \mathbb {C} }$ come spazio vettoriale su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$).

Lo stesso argomento in dettaglio: Base di Schauder.

Più generalmente per uno spazio topologico è possibile estendere la definizione di Hamel in modo diverso, ammettendo somme infinite di vettori. Il senso di queste somme infinite è infatti dato dalle nozioni di limite di una successione e di serie.

Se ${\displaystyle V}$ è uno spazio vettoriale topologico (ad esempio uno spazio di Hilbert o di Banach), un insieme ordinato ${\displaystyle \{v_{i}\}_{i\in I}}$ di vettori linearmente indipendenti è una base di Schauder (o topologica) se lo spazio da essi generato è denso in ${\displaystyle V}$. In altre parole, se ogni vettore ${\displaystyle v}$ di ${\displaystyle V}$ può essere approssimato a piacere da somme (finite) di vettori in ${\displaystyle \{v_{i}\}_{i\in I}}$, e quindi come limite di una somma infinita di questi:

${\displaystyle v=\sum _{i\in I'}(a_{i}-v_{i})}$

dove ${\displaystyle I'\subset I}$ è un sottoinsieme numerabile.

Le due nozioni di basi sono generalmente molto differenti, e anche le loro cardinalità possono differire, portando a due concetti diversi di dimensione, chiamati rispettivamente dimensione di Hamel e dimensione di Schauder. La dimensione di Hamel può avere cardinalità superiore a quella di Schauder (pur essendo entrambe infinite).

Ad esempio, sia ${\displaystyle V}$ lo spazio delle funzioni continue reali definite sull'intervallo ${\displaystyle [0,2\pi ]}$. Questo è uno spazio di Banach con la norma:

${\displaystyle \|f\|=\max _{x\in [0,\pi ]}|f(x)|}$

Come conseguenza della teoria delle serie di Fourier, una base di Schauder per ${\displaystyle V}$ è costruita a partire dalle funzioni trigonometriche:

${\displaystyle \{1\}\cup \{\sin(nx),\cos(nx)|n=1,2,3,\ldots \}}$

ed ha cardinalità numerabile. Una base di Hamel ha invece cardinalità non numerabile, ed è molto più difficile da costruire (e scarsamente utilizzata).