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In matematica, un insieme ${\displaystyle X}$ è detto finito se esiste una corrispondenza biunivoca (ossia una biiezione) tra un numero naturale ${\displaystyle n}$ visto come insieme e ${\displaystyle X}$.

I numeri naturali sono ${\displaystyle 0=\emptyset }$ (dove ${\displaystyle \emptyset }$ denota l'insieme vuoto), ${\displaystyle 1=\{0\}}$, ${\displaystyle 2=\{0,1\}=1\cup \{1\}}$, etc. Ad esempio l'insieme ${\displaystyle X:=\left\{e,\pi ,e^{\pi }\right\}}$ è finito perché la funzione ${\displaystyle f:\left\{0,1,2\right\}\rightarrow X}$ definita mediante ${\displaystyle f(0):=e,\ f(1):=\pi ,\ f(2):=e^{\pi }}$ è una biiezione tra ${\displaystyle 3=\{0,1,2\}}$ e ${\displaystyle X}$.

Per poter definire il numero di elementi di un insieme finito ${\displaystyle X}$ occorre dimostrare la seguente affermazione: se esistono ${\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }$ numeri naturali, ${\displaystyle f:n\rightarrow X}$ e ${\displaystyle g:m\rightarrow X}$ biiezioni allora ${\displaystyle n=m}$.

Per dimostrare tale affermazione si considera la funzione composta ${\displaystyle g^{-1}f:n\rightarrow m}$ che è ancora una biiezione. Basta quindi mostrare che dati ${\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }$ numeri naturali, se ${\displaystyle n\rightarrow m}$ è una biiezione allora ${\displaystyle n=m}$. Questo ultimo fatto si dimostra per induzione.

Infatti, sia ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {N} }$ il sottoinsieme degli ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ tali che se esiste una funzione biiettiva ${\displaystyle n\rightarrow m}$ e ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ allora ${\displaystyle n=m}$. Si ha che ${\displaystyle 0\in \mathbb {N} }$ in quanto esiste un’unica ${\displaystyle \emptyset \rightarrow m}$ ed è biiettiva se e solo se ${\displaystyle m=\emptyset =0}$. Supponiamo ora che ${\displaystyle n\in S}$ e mostriamo che ${\displaystyle n\cup \{n\}\in S}$.

Sia ${\displaystyle \tau :n\cup \{n\}\rightarrow m}$ biiettiva quindi ${\displaystyle m\neq 0}$ ed ${\displaystyle m=k\cup \{k\}}$. A meno di scambi possiamo sempre supporre che ${\displaystyle \tau (n)=k}$ e quindi ${\displaystyle \tau \mid _{n}:n\rightarrow k}$ è biiettiva. Per ipotesi induttiva ${\displaystyle n\in S}$ quindi ${\displaystyle n=k}$ e ${\displaystyle n\cup \{n\}=m}$ dunque ${\displaystyle n\cup \{n\}\in S}$. Abbiamo visto che ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {N} }$ è induttivo dunque ${\displaystyle S=\mathbb {N} }$.

Quanto visto consente di definire il numero di elementi di un insieme finito ${\displaystyle X}$ come l'unico numero naturale ${\displaystyle n}$ tale che esiste una biiezione tra ${\displaystyle n}$ e ${\displaystyle X}$. Tale numero si indica con ${\displaystyle \#X}$ oppure con ${\displaystyle |X|}$ e si dice anche cardinalità di ${\displaystyle X}$. Inoltre, si ha che ${\displaystyle \#\emptyset =0}$.

Ad esempio, l'insieme ${\displaystyle X=\left\{e,\pi ,e^{\pi }\right\}}$ ha ${\displaystyle 3}$ elementi, cioè ${\displaystyle \#X=3}$. Inoltre, ${\displaystyle \#\left\{X,-12,18,\pi \right\}=4}$ e ${\displaystyle \#\left\{1,2,1,1\right\}=2}$

Un insieme si dice infinito se non è finito. Esistono altre definizioni di insieme infinito, equivalenti a questa assumendo l'assioma della scelta, che si adoperano in matematica a seconda delle esigenze dimostrative.

• Luca Barbieri Viale, Lemma 2.13, Che cos'è un numero? : una introduzione all'algebra, R. Cortina, 2013, ISBN 978-88-6030-604-3, OCLC 870195631.

• Infinito (matematica)
• Insieme infinito

• (EN) finite set, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Insieme finito, su MathWorld, Wolfram Research.

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