Utente:Mat4free/Étale morphism
In geometria algebrica, un morfismo étale (dal francese: calmo, immobile, qualcosa lasciato a stabilirsi.[1] ) è un morfismo di schemi che è formalmente étale ed è localmente di presentazione finita. Un morfismo étale è l'analogo algebrico della nozione di isomorfismo locale nella topologia euclidea. I morfismi étale soddisfano le ipotesi del teorema della funzione implicita, ma poiché gli aperti nella topologia di Zariski sono grandi, tali morfismi non sono necessariamente isomorfismi locali. Nonostante ciò, i morfismi étale conservano molte delle proprietà degli isomorfismi analitici locali e sono utili per definire il gruppo fondamentale algebrico e la topologia étale.
Definizione
[modifica | modifica wikitesto]Sia un omomorfismo di anelli. Allora è una -algebra. Sia un polinomio monico in e un polinomio in tale che la derivata di è un'unità in Si dice che è standard étale se e possono essere scelti in modo che sia isomorfo a come -algebra e che sia la mappa canonica.
Sia un morfismo di schemi. Si dice che è étale se e solo se soddisfa una delle seguenti proprietà equivalenti:
- è piatto e non ramificato.[2]
- è liscio e non ramificato.
- è piatto, localmente di presentazione finita e, per ogni la fibra è unione disgiunta di punti ciascuno dei quali è lo spettro di un'estensione di campo finita separabile del campo residuo
- è piatto, localmente di presentazione finita e per ogni e per ogni chiusura algebrica del campo residuo la fibra geometrica è unione disgiunta di punti ciascuno dei quali isomorfo a
- è liscio di dimensione relativa zero.[3]
- è liscio e localmente quasi finito.[4]
- è localmente di presentazione finita ed è localmente étale standard, cioè:
- per ogni esiste un intorno aperto affine di e un intorno aperto affine di tale che e tale che l'omomorfismo di anelli indotto da è standard étale.[5]
- è localmente di presentazione finita e formalmente étale.
- è localmente di presentazione finita e formalmente étale per mappe da anelli locali, cioè:
- sia un ideale di un anello locale tale che sia sia con punto chiuso e con l'immersione chiusa canonica e siano e morfismi tali che allora esiste un unico -morfismo tale che [6]
Sia localmente noetheriano e localmente di tipo finito. Dato sia e sia la mappa indotta sugli anelli locali completati. Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:
- è étale.
- Per ogni la mappa indotta sugli anelli locali completati è formalmente étale per la topologia adica.[7]
- Per ogni il fascio è un -modulo libero e la fibra è un campo che è un'estensione di finita separabile del campo residuo Qui è l'ideale massimale di
- è formalmente étale per mappe di anelli locali tali che l'anello locale con ideale massimale è artiniano, dove è un ideale di tale che e il morfismo tra campi residui è un isomorfismo.[8]
Inoltre, se tutte le mappe sui campi residui sono isomorfismi o se è separabilmente chiuso, allora è étale se e solo se per ogni la mappa indotta sugli anelli locali completati è un isomorfismo.[7]
Esempi
[modifica | modifica wikitesto]- Ogni immersione aperta è étale perché è localmente un isomorfismo.
- I rivestimenti sono esempi di morfismi étale. Ad esempio, se è un numero intero invertibile nell'anello allora
- è un morfismo étale di grado
- Ogni rivestimento ramificato ha un luogo non ramificato
- che è étale.
- I morfismi del tipo
- indotti da estensioni di campo finite separabili sono étale, essi formano rivestimenti aritmetici con gruppi di trasformazioni su dati da
- Qualsiasi omomorfismo di anelli della forma dove tutti gli sono polinomi e dove il determinante jacobiano è un'unità in è étale. Ad esempio il morfismo è etale e corrisponde a un rivestimento di grado di con il gruppo delle trasformazioni su
- Estendendo l'esempio precedente, supponiamo di avere un morfismo di varietà algebriche complesse lisce. Poiché è dato da equazioni, possiamo interpretarlo come una mappa di varietà differenziabili complesse. Ogni volta che lo jacobiano di è diverso da zero, è un isomorfismo locale di varietà differenziabili complesse per il teorema della funzione implicita. Dall'esempio precedente, avere jacobiano diverso da zero equivale a essere étale.
- Sia un morfismo dominante di tipo finito con e localmente noetheriani e irriducibili e con normale. Se è non ramificato, allora è étale.[9]
- Dato un campo qualsiasi -algebra è necessariamente piatta. Pertanto, è un'algebra étale se e solo se è non ramificata, il che è anche equivalente a
- dove è la chiusura separabile del campo e il membro di destra è una somma diretta finita di cui tutti gli addendi sono Questa caratterizzazione delle -algebre étale è un passo fondamentale verso la reinterpretazione della teoria classica di Galois.
Proprietà
[modifica | modifica wikitesto]- I morfismi étale sono preservati dalla composizione e dal cambiamento di base.
- I morfismi étale sono locali nel dominio e nel codominio. In altre parole, è étale se e solo se per ogni ricoprimento di di sottoschemi aperti, la restrizione di a ciascuno dei sottoschemi aperti del ricoprimento è étale; e anche se e solo se per ogni ricoprimento di di sottoschemi aperti, i morfismi indotti sono étale per ogni sottoschema del ricoprimento. In particolare è possibile verificare la proprietà di essere étale su aperti affini
- Il prodotto di una famiglia finita di morfismi étale è étale.
- Data una famiglia finita di morfismi l'unione disgiunta è étale se e solo se ogni è étale.
- Dati e se è non ramificato e è étale, allora è étale. In particolare, se e sono étale su allora ogni -morfismo tra e è étale.
- I morfismi étale quasi compatti sono quasi finiti.
- Un morfismo è un'immersione aperta se e solo se è etale e radiciale.[10]
- Se è étale e suriettivo, allora (finito o meno).
Teorema della funzione inversa
[modifica | modifica wikitesto]I morfismi étale sono la controparte algebrica dei diffeomorfismi locali. Più precisamente, un morfismo tra varietà lisce è étale in un punto se e solo se il differenziale tra i corrispondenti spazi tangenti è un isomorfismo. Questa è a sua volta precisamente la condizione necessaria per assicurare che una mappa tra varietà sia un diffeomorfismo locale, ossia per ogni punto esiste un intorno aperto di tale che la restrizione di a sia un diffeomorfismo. Questa conclusione non vale nella geometria algebrica, perché la topologia è troppo grossolana. Si consideri ad esempio la proiezione della parabola sull'asse Questo morfismo è étale in ogni punto tranne che nell'origine perché il differenziale è dato da che non si annulla in questi punti. Tuttavia non esiste un inverso (Zariski-)locale di perché la radice quadrata non è un morfismo algebrico, non essendo data dai polinomi. Ma, considerando la topologia étale, esiste una soluzione a questo problema. Il risultato preciso è il seguente: se è finito étale, allora per ogni punto esiste un morfismo étale che contiene nella sua immagine ( può essere pensato come un intorno aperto étale di ), tale che è unione disgiunta finita di sottoinsiemi aperti isomorfi a (l'insieme sarebbe la controimmagine di rispetto a se fosse un intorno aperto di Zariski). In altre parole, étale-localmente in il morfismo è un rivestimento topologico finito.
Per un morfismo liscio di dimensione relativa étale-localmente in e in il morfismo è un'immersione aperta in uno spazio affine Questa è la versione étale del teorema di struttura delle summersioni.
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ "étale" article
- ^ EGA IV4, Corollaire 17.6.2.
- ^ EGA IV4, Corollaire 17.10.2.
- ^ EGA IV4, Corollaire 17.6.2 and Corollaire 17.10.2.
- ^ Milne, Étale cohomology, Theorem 3.14.
- ^ EGA IV4, Corollaire 17.14.1.
- ^ a b EGA IV4, Proposition 17.6.3
- ^ EGA IV4, Proposition 17.14.2
- ^ SGA1, Exposé I, 9.11
- ^ EGA IV4, Théorème 17.9.1.
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- 1977, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157. 978-0-387-90244-9
- vol. 20, 1964, DOI:10.1007/bf02684747, http://www.numdam.org:80/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1964__20_.
- vol. 20, 1964, DOI:10.1007/bf02684747, http://www.numdam.org:80/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1964__20_.
- vol. 32, 1967, DOI:10.1007/BF02732123, http://www.numdam.org:80/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1967__32_.
- 2003, ISBN 978-2-85629-141-2, arXiv:math.AG/0206203. 978-2-85629-141-2
- J. S. Milne, 1980, ISBN 0-691-08238-3, https://archive.org/details/etalecohomology00miln. 0-691-08238-3
- JS Milne (2008). Lezioni sulla Coomologia Etale