Dualità di Shur-Weyl

La dualità di Schur-Weyl è un teorema studiato in teoria delle rappresentazioni che mette in relazione le rappresentazioni irriducibili di dimensione finita del gruppo generale lineare e del gruppo simmetrico . Eredita il nome da due importanti figure di rilievo nello studio della teoria delle rappresentazioni dei gruppi di Lie, Issai Schur, che scoprì il fenomeno, e Hermann Weyl, che lo rese popolare nei suoi libri sulla meccanica quantistica e sui gruppi classici come un modo per classificare le rappresentazioni di gruppi lineari unitari e generali.

La dualità di Schur-Weyl può essere dimostrata mediante il Teorema del doppio centralizzatore.^[1]

La dualità di Schur-Weyl presenta una struttura tipica nella teoria delle rappresentazioni, in cui sono coinvolti due tipi di simmetria che si determinano a vicenda. Consideriamo lo spazio tensoriale

${\displaystyle {(\mathbb {C} ^{n})}^{\otimes k}:=\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}\otimes \cdots \otimes \mathbb {C} ^{n}}$ con k fattori .

È possibile definire un'azione del gruppo simmetrico ${\displaystyle S_{k}}$ su questo spazio (a sinistra) permutando i fattori, ovvero

${\displaystyle \sigma (v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k})=v_{\sigma ^{-1}(1)}\otimes v_{\sigma ^{-1}(2)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma ^{-1}(k)}.}$

Al tempo stesso, anche il gruppo lineare generale ${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {C} )}$ di matrici n × n invertibili può agire su tale spazio mediante la moltiplicazione di matrici (a sinistra), tale che

${\displaystyle g(v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k})=gv_{1}\otimes gv_{2}\otimes \cdots \otimes gv_{k},\quad g\in {\text{GL}}_{n}.}$

Si può facilmente osservare che queste due azioni commutano fra loro e, concretamente, la dualità Schur-Weyl afferma che sotto l'azione congiunta dei gruppi ${\displaystyle S_{k}}$ e ${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {C} )}$ lo spazio tensoriale si decompone nella somma diretta di prodotti tensoriali di moduli irriducibili (per questi due gruppi) che in realtà si determinano a vicenda,

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}\otimes \cdots \otimes \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{D}\pi _{k}^{D}\otimes \rho _{n}^{D}.}$

Gli addendi della somma diretta sono indicizzati sui diagrammi di Young D formati da k caselle e al più n righe. I moduli ${\displaystyle \pi _{k}^{D}}$ di ${\displaystyle S_{k}}$, che nella teoria sono chiamati rappresentazioni irriducibili, sono non isomorfi fra loro al variare di D, e ciò vale anche per le rappresentazioni irriducibili ${\displaystyle \rho _{n}^{D}}$ di ${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {C} )}$ .

L'enunciato più formale della dualità di Schur-Weyl afferma che le due algebre di operatori su ${\displaystyle {(\mathbb {C} ^{n})}^{\otimes k}}$ generate dalle azioni di ${\displaystyle S_{k}}$ e ${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {C} )}$ si centralizzano l'un l'altra nell'algebra degli endomorfismi ${\displaystyle \mathrm {End} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}\otimes \cdots \otimes \mathbb {C} ^{n}).}$

Supponiamo che ${\displaystyle k=2,n>1}$. Per la dualità di Schur-Weyl, ricordando che le rappresentazioni irriducibili di ${\displaystyle S_{2}}$ sono la rappresentazione banale e la rappresentazione segno, lo spazio dei due tensori si decompone in potenza simmetrica e potenza esterna, ciascuna delle quali è un modulo irriducibile per ${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {C} )}$:

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}=S^{2}\mathbb {C} ^{n}\oplus \Lambda ^{2}\mathbb {C} ^{n}.}$

Il gruppo simmetrico S ₂ è infatti costituito da due elementi e ha due rappresentazioni irriducibili. La rappresentazione banale dà origine al prodotto simmetrico, i cui elementi sono invarianti (cioè non cambiano) per permutazione dei fattori, mentre la rappresentazione segno dà luogo al prodotto esterno, i cui elementi cambiano di segno se trasposti.

Innanzitutto si considerino le seguenti ipotesi:

• Sia G un gruppo finito ,
• ${\displaystyle A=\mathbb {C} [G]}$ l'algebra gruppo di G ,
• ${\displaystyle U}$ un A-modulo destro di dimensione finita
• ${\displaystyle B=\operatorname {End} _{A}(U)}$, che agisce su U da sinistra e commuta con l'azione destra di A. In altre parole, ${\displaystyle B}$ è il centralizzatore di ${\displaystyle A}$ nell'anello di endomorfismi ${\displaystyle \operatorname {End} (U)}$ .

La dimostrazione utilizza due lemmi algebrici.

Lemma 1: Se ${\displaystyle W}$ è un ${\displaystyle A}$-modulo sinistro semplice, allora ${\displaystyle U\otimes _{A}W}$ è un ${\displaystyle B}$-modulo sinistro semplice.^[2]

Dimostrazione : U è semisemplice, dunque per il teorema di Maschke, esiste una decomposizione ${\displaystyle U=\bigoplus _{i}U_{i}^{\oplus m_{i}}}$ in ${\displaystyle A}$-moduli semplici . Allora ${\displaystyle U\otimes _{A}W=\bigoplus _{i}(U_{i}\otimes _{A}W)^{\oplus m_{i}}}$ . Se osserviamo ${\displaystyle A}$ come ${\displaystyle A}$-rappresentazione su sé stessa, mediante la rappresentazione regolare sinistra, sappiamo che ogni ${\displaystyle A}$-modulo semplice compare nella decomposizione di ${\displaystyle A}$, dunque abbiamo che ${\displaystyle U_{i}\otimes _{A}W=\mathbb {C} }$ se e solo se ${\displaystyle U_{i},W}$ sono isomorfi allo stesso fattore semplice, mentre ${\displaystyle U_{i}\otimes _{A}W=0}$ altrimenti.

Di conseguenza si ha che ${\displaystyle U\otimes _{A}W=(U_{i_{0}}\otimes _{A}W)^{\oplus m_{i_{0}}}=\mathbb {C} ^{\oplus m_{i_{0}}}}$, in cui ${\displaystyle U_{i_{0}}\cong W}$ è un isomorfismo di ${\displaystyle A}$-moduli (semplici). Ora, ricordando che ${\displaystyle B}$ agisce a sinistra su ${\displaystyle U}$, è facile vedere che ogni vettore diverso da zero in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\oplus m_{i_{0}}}}$ genera l'intero spazio se osserviamo ${\displaystyle U\otimes _{A}W}$ come ${\displaystyle B}$-modulo sinistro, dunque, è semplice. ${\displaystyle \blacksquare }$

Lemma 2: Sia ${\displaystyle U=V^{\otimes d}}$ e${\displaystyle G=S_{n}}$ il gruppo simmetrico. Un sottospazio di ${\displaystyle U}$ è un ${\displaystyle B}$-sottomodulo sinistro se e solo se è invariante sotto l'azione sinistra di ${\displaystyle GL(V)}$; detto in altri termini, un ${\displaystyle B}$-sottomodulo di ${\displaystyle U}$ è un ${\displaystyle GL(V)}$-modulo.^[3]

Dimostrazione : Scegliamo ${\displaystyle W:=\operatorname {End} (V)}$ . È possibile immergere${\displaystyle W\hookrightarrow \operatorname {End} (U)}$, mediante la relazione ${\displaystyle w\mapsto w^{d}=d!w\otimes \cdots \otimes w}$. Inoltre, si può verificare che l'immagine di ${\displaystyle W}$ genera il sottospazio dei tensori simmetrici ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{d}(W)}$ . Dal momento che, per costruzione, ${\displaystyle B=End_{S_{n}}(V^{\otimes d})=\operatorname {Sym} ^{d}(W)}$, l'immagine di ${\displaystyle W}$ genera ${\displaystyle B}$ . Dal momento che ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ è denso in ${\displaystyle End(V)=W}$ sia nella topologia euclidea che nella topologia di Zariski, segue l'asserzione. ${\displaystyle \blacksquare }$

Siamo pronti a mostrare la dualità Schur-Weyl.

Sia nuovamente ${\displaystyle G=S_{d}}$ il gruppo simmetrico, ${\displaystyle U=V^{\otimes d}}$ la d -esima potenza tensoriale di uno spazio vettoriale su ${\displaystyle \mathbb {C} }$ di dimensione finita.

Siano ${\displaystyle V^{\lambda }}$ i moduli Specht, ovvero le ${\displaystyle S_{d}}$-rappresentazioni irriducibili, indicizzati sulle partizioni ${\displaystyle \lambda }$ di d e sia ${\displaystyle m_{\lambda }=\dim V_{\lambda }}$.

Il Lemma 1 ci garantisce che

${\displaystyle S^{\lambda }(V):=V^{\otimes d}\otimes _{{\mathfrak {S}}_{d}}V^{\lambda }}$

è un ${\displaystyle GL(V)}$-modulo semplice. Inoltre, presa la decomposizione in rappresentazioni irriducibili per ${\displaystyle A=\bigoplus _{\lambda }(V_{\lambda })^{\bigoplus m_{\lambda }}}$, si ha che:^[4]

${\displaystyle V^{\otimes d}=V^{\otimes d}\otimes _{A}A=\bigoplus _{\lambda }(V^{\otimes d}\otimes _{S_{d}}V^{\lambda })^{\oplus m_{\lambda }}}$ ,

e questa è la decomposizione di ${\displaystyle V^{\otimes d}}$ come a ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ -modulo.

L'algebra di Brauer prende il posto del gruppo simmetrico nella generalizzazione della dualità di Schur-Weyl per gruppi simplettici e ortogonali.

Ancora più in generale, l'algebra di partizione e le sue sottoalgebre generano ulteriori generalizzazioni della dualità di Schur-Weyl.

• Rappresentazione dei gruppi
• Gruppo Simmetrico
• Prodotto Tensoriale

• Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representazion theory. A first course. Graduate Yexys in Mathematics, Redings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag.
• Roger Howe, Perspectives on invariant theory: Schur duality, multiplicity-free actions and beyond. The Schur lectures (1992) (Tel Aviv), 1–182, Israel Math. Conf. Proc., 8, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1995. MR 1321638
• Issai Schur, Über eine Klasse von Matrizen, die sich einer gegebenen Matrix zuordnen lassen. Dissertation. Berlin. 76 S (1901) JMF 32.0165.04
• Issai Schur, Über die rationalen Darstellungen der allgemeinen linearen Gruppe. Sitzungsberichte Akad. Berlin 1927, 58–75 (1927) JMF 53.0108.05
• Hermann Weyl, The Classical Groups. Their Invariants and Representations. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1939. xii+302 pp. MR 0000255