La dualità di Schur-Weyl è un teorema studiato in teoria delle rappresentazioni che mette in relazione le rappresentazioni irriducibili di dimensione finita del gruppo generale lineare e del gruppo simmetrico . Eredita il nome da due importanti figure di rilievo nello studio della teoria delle rappresentazioni dei gruppi di Lie, Issai Schur, che scoprì il fenomeno, e Hermann Weyl, che lo rese popolare nei suoi libri sulla meccanica quantistica e sui gruppi classici come un modo per classificare le rappresentazioni di gruppi lineari unitari e generali.
La dualità di Schur-Weyl può essere dimostrata mediante il Teorema del doppio centralizzatore.[1]
Descrizione
[modifica | modifica wikitesto]La dualità di Schur-Weyl presenta una struttura tipica nella teoria delle rappresentazioni, in cui sono coinvolti due tipi di simmetria che si determinano a vicenda. Consideriamo lo spazio tensoriale
- con k fattori .
È possibile definire un'azione del gruppo simmetrico su questo spazio (a sinistra) permutando i fattori, ovvero
Al tempo stesso, anche il gruppo lineare generale di matrici n × n invertibili può agire su tale spazio mediante la moltiplicazione di matrici (a sinistra), tale che
Si può facilmente osservare che queste due azioni commutano fra loro e, concretamente, la dualità Schur-Weyl afferma che sotto l'azione congiunta dei gruppi e lo spazio tensoriale si decompone nella somma diretta di prodotti tensoriali di moduli irriducibili (per questi due gruppi) che in realtà si determinano a vicenda,
Gli addendi della somma diretta sono indicizzati sui diagrammi di Young D formati da k caselle e al più n righe. I moduli di , che nella teoria sono chiamati rappresentazioni irriducibili, sono non isomorfi fra loro al variare di D, e ciò vale anche per le rappresentazioni irriducibili di .
L'enunciato più formale della dualità di Schur-Weyl afferma che le due algebre di operatori su generate dalle azioni di e si centralizzano l'un l'altra nell'algebra degli endomorfismi
Esempio
[modifica | modifica wikitesto]Supponiamo che . Per la dualità di Schur-Weyl, ricordando che le rappresentazioni irriducibili di sono la rappresentazione banale e la rappresentazione segno, lo spazio dei due tensori si decompone in potenza simmetrica e potenza esterna, ciascuna delle quali è un modulo irriducibile per :
Il gruppo simmetrico S 2 è infatti costituito da due elementi e ha due rappresentazioni irriducibili. La rappresentazione banale dà origine al prodotto simmetrico, i cui elementi sono invarianti (cioè non cambiano) per permutazione dei fattori, mentre la rappresentazione segno dà luogo al prodotto esterno, i cui elementi cambiano di segno se trasposti.
Dimostrazione
[modifica | modifica wikitesto]Innanzitutto si considerino le seguenti ipotesi:
- Sia G un gruppo finito ,
- l'algebra gruppo di G ,
- un A-modulo destro di dimensione finita
- , che agisce su U da sinistra e commuta con l'azione destra di A. In altre parole, è il centralizzatore di nell'anello di endomorfismi .
La dimostrazione utilizza due lemmi algebrici.
Lemma 1: Se è un -modulo sinistro semplice, allora è un -modulo sinistro semplice.[2]
Dimostrazione : U è semisemplice, dunque per il teorema di Maschke, esiste una decomposizione in -moduli semplici . Allora . Se osserviamo come -rappresentazione su sé stessa, mediante la rappresentazione regolare sinistra, sappiamo che ogni -modulo semplice compare nella decomposizione di , dunque abbiamo che se e solo se sono isomorfi allo stesso fattore semplice, mentre altrimenti.
Di conseguenza si ha che , in cui è un isomorfismo di -moduli (semplici). Ora, ricordando che agisce a sinistra su , è facile vedere che ogni vettore diverso da zero in genera l'intero spazio se osserviamo come -modulo sinistro, dunque, è semplice.
Lemma 2: Sia e il gruppo simmetrico. Un sottospazio di è un -sottomodulo sinistro se e solo se è invariante sotto l'azione sinistra di ; detto in altri termini, un -sottomodulo di è un -modulo.[3]
Dimostrazione : Scegliamo . È possibile immergere, mediante la relazione . Inoltre, si può verificare che l'immagine di genera il sottospazio dei tensori simmetrici . Dal momento che, per costruzione, , l'immagine di genera . Dal momento che è denso in sia nella topologia euclidea che nella topologia di Zariski, segue l'asserzione.
Siamo pronti a mostrare la dualità Schur-Weyl.
Sia nuovamente il gruppo simmetrico, la d -esima potenza tensoriale di uno spazio vettoriale su di dimensione finita.
Siano i moduli Specht, ovvero le -rappresentazioni irriducibili, indicizzati sulle partizioni di d e sia .
Il Lemma 1 ci garantisce che
è un -modulo semplice. Inoltre, presa la decomposizione in rappresentazioni irriducibili per , si ha che:[4]
- ,
e questa è la decomposizione di come a -modulo.
Generalizzazioni
[modifica | modifica wikitesto]L'algebra di Brauer prende il posto del gruppo simmetrico nella generalizzazione della dualità di Schur-Weyl per gruppi simplettici e ortogonali.
Ancora più in generale, l'algebra di partizione e le sue sottoalgebre generano ulteriori generalizzazioni della dualità di Schur-Weyl.
Argomenti Correlati
[modifica | modifica wikitesto]Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ Etingof, Pavel;Golberg, Oleg; Hensel, Sebastian; Liu, Tiankai; Schwendner, Alex; Vaintrob, Dmitry; Yudovina, Elena;(2011), Introduction to representationtheory. With historical interludes by Slava Gerovitch, Theorem 5.18.4
- ^ Fulton & Harris, Lemma 6.22
- ^ Fulton & Harris, Lemma 6.23
- ^ Fulton & Harris, Theorem 6.3. (2), (4)
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representazion theory. A first course. Graduate Yexys in Mathematics, Redings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag.
- Roger Howe, Perspectives on invariant theory: Schur duality, multiplicity-free actions and beyond. The Schur lectures (1992) (Tel Aviv), 1–182, Israel Math. Conf. Proc., 8, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1995. MR 1321638
- Issai Schur, Über eine Klasse von Matrizen, die sich einer gegebenen Matrix zuordnen lassen. Dissertation. Berlin. 76 S (1901) JMF 32.0165.04
- Issai Schur, Über die rationalen Darstellungen der allgemeinen linearen Gruppe. Sitzungsberichte Akad. Berlin 1927, 58–75 (1927) JMF 53.0108.05
- Hermann Weyl, The Classical Groups. Their Invariants and Representations. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1939. xii+302 pp. MR 0000255