Distribuzione Beta

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Distribuzione ${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}$
Funzione di densità di probabilità
Funzione di ripartizione
Parametri	${\displaystyle \alpha ,\beta >0\ }$
Supporto	${\displaystyle [0,1]\ }$
Funzione di densità	${\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}$
Funzione di ripartizione	${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )\ }$ (funzione Beta incompleta regolarizzata)
Valore atteso	${\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}$
Moda	${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}}$ se ${\displaystyle \alpha ,\beta >1\ }$ ${\displaystyle 0\ }$ se ${\displaystyle \alpha <1\ }$ e ${\displaystyle \beta \geqslant 1}$ ${\displaystyle 1\ }$ se ${\displaystyle \alpha \geqslant 1}$ e ${\displaystyle \beta <1\ }$
Varianza	${\displaystyle {\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}}$
Indice di asimmetria	${\displaystyle 2{\frac {\beta -\alpha }{\alpha +\beta +2}}{\sqrt {\frac {\alpha +\beta +1}{\alpha \beta }}}}$
Funzione generatrice dei momenti	${\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}$
Funzione caratteristica	${\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)}$
Manuale

In teoria delle probabilità e in statistica, la distribuzione ${\displaystyle \mathrm {B} }$ (Beta) è una distribuzione di probabilità continua definita da due parametri ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ sull'intervallo unitario ${\displaystyle [0,1]}$.

Questa distribuzione nasce in modo molto naturale nella inferenza bayesiana, perché governa la probabilità ${\displaystyle p}$ di un processo di Bernoulli a posteriori dell'osservazione di ${\displaystyle \alpha -1}$ "successi" e ${\displaystyle \beta -1}$ "fallimenti", quando ${\displaystyle p}$ è a priori distribuita uniformemente tra ${\displaystyle 0}$ e ${\displaystyle 1}$.

La distribuzione Beta di parametri ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ (entrambi positivi) è definita sull'intervallo ${\displaystyle [0,1]}$ con funzione di densità di probabilità

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}$.

In altri termini la funzione di densità di probabilità è proporzionale alla funzione

${\displaystyle x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}$,

riscalata per un fattore dato dalla funzione Beta

${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}dx}$;

in questo modo ha probabilità totale ${\displaystyle P(X\in [0,1])=1}$.

La sua funzione di ripartizione è la funzione Beta incompleta regolarizzata

${\displaystyle F(x)=I_{x}(\alpha ,\beta )={\frac {\mathrm {B} _{x}(\alpha ,\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}={\frac {\int _{0}^{x}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}dt}{\int _{0}^{1}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}dt}}}$.

I momenti semplici di una variabile aleatoria ${\displaystyle X}$ con distribuzione Beta di parametri ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ sono

${\displaystyle \mu _{k}=E[X^{k}]={\frac {\int _{0}^{1}x^{\alpha +k-1}(1-x)^{\beta -1}dx}{\int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}dx}}={\frac {\mathrm {B} (\alpha +k,\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}={\frac {(\alpha )_{k}}{(\alpha +\beta )_{k}}}}$,

dove ${\displaystyle x_{k}}$ indica il fattoriale crescente con k fattori, ${\displaystyle (x)_{k}=x(x+1)\cdots (x+k-1)}$. (L'ultima uguaglianza può essere dedotta dall'espressione della funzione Beta attraverso la funzione Gamma, ${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )/\Gamma (\alpha +\beta )}$ e dalla proprietà ${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$.)

I momenti semplici soddisfano quindi la relazione ricorsiva

${\displaystyle \mu _{k+1}={\frac {\alpha +k}{\alpha +\beta +k}}\mu _{k}}$.

In particolare, la distribuzione ha:

• valore atteso ${\displaystyle E[X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}$;
• varianza ${\displaystyle {\text{Var}}(X)={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}}$;
• indice di asimmetria ${\displaystyle \gamma _{1}=2{\frac {\beta -\alpha }{\alpha +\beta +2}}{\sqrt {\frac {\alpha +\beta +1}{\alpha \beta }}}}$;
• indice di curtosi ${\displaystyle \gamma _{2}=6{\frac {\alpha ^{3}-2\alpha ^{2}\beta -2\alpha \beta ^{2}+\beta ^{3}+\alpha ^{2}-4\alpha \beta +\beta ^{2}}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}}$.

Invertendo le relazioni qui sopra, che forniscono il valore atteso e la varianza in funzione dei parametri ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$, possiamo esprimere univocamente i suddetti parametri in termini del valore atteso e della varianza:

${\displaystyle \alpha =E[X]\left({\frac {E[X](1-E[X])}{{\text{Var}}(X)}}-1\right)}$;

${\displaystyle \beta =(1-E[X])\left({\frac {E[X](1-E[X])}{{\text{Var}}(X)}}-1\right)}$.

Queste formule vengono applicate nel metodo dei momenti, con la media e la varianza osservate su un campione.

L'entropia è

${\displaystyle H(X)=\log \mathrm {B} (\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\digamma (\alpha )-(\beta -1)\digamma (\beta )+(\alpha +\beta -2)\digamma (\alpha +\beta )}$,

dove ${\displaystyle \digamma }$ è la funzione digamma.

La moda della distribuzione dipende dai segni di ${\displaystyle \alpha -1}$ e ${\displaystyle \beta -1}$, ed è unica solo se almeno uno dei due è positivo:

se ${\displaystyle \alpha >1}$ e ${\displaystyle \beta >1}$ allora la moda è ${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}}$;

se ${\displaystyle \alpha >1}$ (o ${\displaystyle \alpha =1}$) e ${\displaystyle \beta <1}$ allora la moda è 1;

se ${\displaystyle \beta >1}$ (o ${\displaystyle \beta =1}$) e ${\displaystyle \alpha <1}$ allora la moda è 0.

(La funzione di densità di probabilità ha un asintoto in 0 se ${\displaystyle \alpha <1}$, in 1 se ${\displaystyle \beta <1}$.)

Una distribuzione Beta può essere definita su un qualunque intervallo ${\displaystyle [a,b]}$, costruendo una nuova variabile casuale ${\displaystyle Y=a+(b-a)X}$.

Se ${\displaystyle X}$ segue la distribuzione Beta di parametri ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ allora ${\displaystyle 1-X}$ segue la distribuzione Beta di parametri ${\displaystyle (\beta ,\alpha )}$.

• La distribuzione Beta di parametri ${\displaystyle (1,1)}$ corrisponde alla distribuzione continua uniforme ${\displaystyle {\mathcal {U}}([0,1])}$ sull'intervallo unitario.

• La distribuzione di Dirichlet è una generalizzazione della distribuzione Beta: essa descrive la distribuzione a posteriori dei parametri di una distribuzione multinomiale a posteriori, appunto, di un'osservazione. La distribuzione di Dirichlet con due parametri è esattamente la distribuzione Beta.

• Per ${\displaystyle \alpha =\beta ={\tfrac {3}{2}}}$ la densità di probabilità del tipo Beta ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x(1-x)}}}$ è, in termini geometrici, la metà superiore di una circonferenza: ${\displaystyle (2f(x))^{2}+(2x-1)^{2}=1}$, descrive un semicerchio. La variabile aleatoria ${\displaystyle Y=r(2X-1)}$ segue una distribuzione di Wigner di parametro r.

• Se ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ sono due variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni Gamma di rispettivi parametri ${\displaystyle (\alpha ,\theta )}$ e ${\displaystyle (\beta ,\theta )}$, allora la variabile aleatoria ${\displaystyle {\tfrac {X}{X+Y}}}$ segue la distribuzione Beta di parametri ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$.

• Se la variabile aleatoria ${\displaystyle X}$ segue la distribuzione Beta di parametri ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ allora la variabile aleatoria ${\displaystyle T={\tfrac {X}{1-X}}}$ è descritta dalla distribuzione Beta del secondo tipo, che ha funzione di densità di probabilità

${\displaystyle f(t)={\frac {x^{\alpha -1}/(1-x)^{\alpha +\beta }}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}$

• La distribuzione di Wilks ${\displaystyle \Lambda (p,m,n)}$ può essere interpretata come la distribuzione che governa il prodotto ${\displaystyle X_{1}\cdots X_{n}}$ di n variabili aleatorie indipendenti ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ con rispettivi parametri ${\displaystyle ({\tfrac {m+1-p}{2}},{\tfrac {p}{2}}),...,({\tfrac {m+n-p}{2}},{\tfrac {p}{2}})}$.

• Se ${\displaystyle Y}$ è una variabile aleatoria con distribuzione di Kumaraswamy di parametri ${\displaystyle (a,b)}$ allora ${\displaystyle X=Y^{a}}$ segue la distribuzione Beta di parametri ${\displaystyle (1,b)}$.

E' immediato dimostrare che, se X è distribuita come una v.c. binomiale con parametri n e π

${\displaystyle f(x|\pi )=Binom(x|n;\pi )}$

e il parametro π è distribuito a priori come una v.c. Beta con i parametri a e b

${\displaystyle g(\pi )=Beta(\pi |a;b)}$

allora il parametro π è distribuito a posteriori, anch'esso, come una v.c. Beta, ma con parametri a+x e b+n-x

${\displaystyle g(\pi |x)=Beta(\pi |a+x;b+n-x)}$

Come detto in precedenza, qualora il parametro π sia distribuito a priori come una variabile casuale rettangolare nell'intervallo [0;1] (ovvero ipotizzando a priori tutti i possibili valori di π equiprobabili), e pertanto a=1 e b=1, allora la distribuzione a posteriori del parametro π è una Beta con parametri x+1 e n-x+1

${\displaystyle g(\pi |x)=(n+1){n \choose x}\pi ^{x}(1-\pi )^{n-x}}$

essa ha come valore modale p

${\displaystyle p={\frac {x}{n}}}$, che corrisponde alla stima usata in ambito frequentistico, mentre il valore atteso o media, è

${\displaystyle p={\frac {x+1}{n+2}}}$, che per x<n/2 è maggiore del valore modale ${\displaystyle {\frac {x}{n}}}$. Il valore atteso minimizza lo scarto quadratico.

Infatti, la probabilità di ottenere ${\displaystyle \alpha -1}$ successi e ${\displaystyle \beta -1}$ fallimenti in un processo di Bernoulli di parametro p è ${\displaystyle {\tbinom {\alpha +\beta -2}{\alpha -1}}p^{\alpha -1}(1-p)^{\beta -1}}$, proporzionale alla densità ${\displaystyle f(p)}$ della distribuzione Beta di parametri ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$.

Pertanto, come detto sopra, se la variabile aleatoria ${\displaystyle S}$ segue una distribuzione binomiale ${\displaystyle {\mathcal {B}}(P,\alpha +\beta -2)}$ con parametro aleatorio P distribuito a priori uniformemente sull'intervallo unitario ${\displaystyle [0,1]}$, a posteriori dell'osservazione ${\displaystyle S=\alpha -1}$ il parametro P segue la distribuzione ${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}$.

Più in generale, se ${\displaystyle S}$ è una variabile aleatoria con distribuzione binomiale ${\displaystyle {\mathcal {B}}(P,n)}$ e il parametro P segue a priori la distribuzione ${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}$, allora a posteriori dell'osservazione ${\displaystyle S=s}$ il parametro P segue la distribuzione ${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha +s,\beta +n-s)}$.

Il caso della distribuzione uniforme a priori è un caso particolare di quest'ultimo, essendo ${\displaystyle \mathrm {B} (1,1)={\mathcal {U}}(0,1)}$.

Se X è distribuita come una v.c. binomiale negativa con parametri m e θ

${\displaystyle f(x|\theta )=BinNeg(x|m;\theta )}$

e il parametro θ è distribuito a priori come una v.c. Beta con i parametri a e b

${\displaystyle g(\theta )=Beta(\theta |a;b)}$

allora il parametro θ è distribuito a posteriori anch'esso come una v.c. Beta, ma con parametri a+m e b+x

${\displaystyle g(\theta |x)=Beta(\theta |a+m;b+x)}$

Qualora la distribuzione a priori sia una variabile casuale rettangolare nell'intervallo [0;1] (ovvero ipotizzando a priori tutti i possibili valori di θ equiprobabili), e pertanto a=1 e b=1, allora la distribuzione a posteriori è una Beta con parametri m+1 e x+1

che ha come valore modale t

t=m/(m+x)

Similmente, se la variabile aleatoria ${\displaystyle T}$ segue la distribuzione di Pascal ${\displaystyle {\mathcal {NB}}(P,n)}$ e P segue a priori la distribuzione ${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}$, allora a posteriori dell'osservazione ${\displaystyle T=t}$ il parametro P segue la distribuzione ${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha +n,\beta +t)}$.

• Distribuzione binomiale
• Funzione Beta
• Processo di Bernoulli
• Statistica bayesiana

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Distribuzione Beta

• (EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione Beta, su MathWorld, Wolfram Research.

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