Curva di Koch

La curva di Koch, detta anche merletto di Koch^[1], è una delle prime curve frattali di cui si conosca una descrizione. Apparve per la prima volta su un documento del 1904 del matematico svedese Helge von Koch^[2]. La curva, infinitamente frastagliata, ha lunghezza infinita, ed è un esempio di curva continua e non derivabile.

La generazione della curva di Koch avviene grazie all'esecuzione ripetuta di un programma di istruzioni o procedura ricorsiva: è una procedura perché precisamente definita da un numero finito di passi, è ricorsiva perché viene ripetuta meccanicamente. L'algoritmo della curva consiste nella ripetizione del ciclo sottostante:

• Partendo da un segmento di determinata lunghezza
  1. dividere il segmento in tre segmenti uguali;
  2. cancellare il segmento centrale, sostituendolo con due segmenti identici che costituiscono i due lati di un triangolo equilatero;
  3. tornare al punto 1 per ognuno degli attuali segmenti.

Partendo da un segmento, se ne ottengono quindi quattro (costituenti una linea spezzata) nel primo ciclo, 4x4=16 nel secondo ciclo e così via, generando al limite un elegantissimo frattale. Ingrandendo un qualunque dettaglio del frattale si ottiene ancora lo stesso frattale: in questo consiste l'auto similarità e la struttura fine dei frattali a qualunque livello di scala.

In ogni passo della generazione della curva che abbiamo descritto otteniamo una curva continua che possiamo pensare parametrizzata da una funzione continua sull'intervallo ${\displaystyle [0,1]}$. Se si definiscono le parametrizzazioni in modo "ragionevole" si ha che la curva corrispondente ad ogni passo differisce dalla curva del passo precedente di quantità via via sempre più piccole. Si può dimostrare che questa successione di curve è una successione di Cauchy nello spazio di Banach delle curve continue su ${\displaystyle [0,1]}$ e quindi deve convergere ad un punto limite nello spazio delle curve continue, questo limite è la Curva di Koch.

La curva di Koch così definita gode delle seguenti proprietà:

• è continua, in quanto limite uniforme di funzioni continue, cioè è una curva nel senso matematico del termine;

• ha lunghezza infinita: infatti ogni tappa della sua costruzione aumenta la lunghezza totale nel rapporto di 4/3 e la lunghezza della curva limite è evidentemente superiore a tutte le lunghezze delle curve costruite ad ogni passo;

• è autosimile: contiene una sua parte che è una trasformazione omotetica della curva intera.

• non è derivabile in nessun punto; infatti, una curva derivabile in un punto ${\displaystyle x_{0}}$, vista su scale sempre più piccole intorno a ${\displaystyle x_{0}}$, tende ad essere vicina ad una retta passante per quel punto, la curva di Koch invece vista su qualsiasi scala è identica a sé stessa.

Nel suo libro Les objets fractals Benoît Mandelbrot propone la curva di Koch come un modello sommario della costa di un'isola. Essa è una celebre figura che Cesàro descrive nel seguente modo: «È questa similitudine tra il tutto e le sue parti, perfino quelle infinitesimali, che ci porta a considerare la curva di Koch alla stregua di una linea veramente meravigliosa tra tutte. Se fosse dotata di vita, non sarebbe possibile annientarla senza sopprimerla al primo colpo, poiché in caso contrario rinascerebbe incessantemente dalle profondità dei suoi triangoli, come la vita nell'universo».

Lévy scrisse altresì: «Senza dubbio la nostra intuizione prevedeva che l'assenza di tangente e la lunghezza infinita della curva fossero legate a dei tornanti infinitamente piccoli che non si può pensare di disegnare. Ma si rimane confusi per il fatto che la nostra immaginazione non riesce nemmeno a spingersi oltre i primi passi nella costruzione di questi tornanti infinitamente piccoli». Sulla falsariga di Lévy, Stainhaus scrisse: «Ci avviciniamo alla realtà, considerando che la maggior parte degli archi che s'incontrano nella natura sono non rettificabili. Questa affermazione contrasta con la credenza che gli archi non rettificabili siano un'invenzione dei matematici, e che gli archi naturali siano rettificabili: si verifica invece il contrario».

Charles Hermite, legato a una certa idea di purezza della funzione geometrica, davanti alla curva di Koch dichiarava di «ritrarsi con spavento e orrore da questa piaga lamentevole delle funzioni che non hanno derivata».

Questa curva è conosciuta anche col nome fiocco di neve di Koch (o stella/isola di Koch), anche se, in questo caso, oltre la curva si considera anche la superficie che essa racchiude.

La costruzione parte da un'isola a forma di triangolo equilatero. Quindi, sul terzo centrale di ciascuno dei tre lati di lunghezza unitaria, si colloca un promontorio a forma di triangolo equilatero, dai lati uguali a ${\displaystyle 1/3}$. Si ottiene così un esagono regolare stellato, o stella di David, il cui perimetro ha lunghezza uguale a ${\displaystyle 4}$. Allo stesso modo si procede per ciascuno dei suoi dodici lati, e così di seguito.

Particolarità di questa figura è che ha superficie finita. Per quanto riguarda il perimetro, affermare che sia di lunghezza infinita non corrisponde al vero. Per quanto il limite per infinite iterazioni tenda ad infinito, la misura non ha dimensione uguale a ${\displaystyle 1}$, ma uguale a ${\displaystyle {\frac {\log 4}{\log 3}}}$, cosa che non permette di definire la sua misura come lunghezza vera e propria.

Infatti se per l'${\displaystyle n}$-esima iterazione denotiamo con ${\displaystyle N_{n}}$ il numero totale di lati, ${\displaystyle L_{n}}$ la lunghezza di un lato, ${\displaystyle P_{n}}$ il perimetro, ${\displaystyle S_{n}}$ l'area, ${\displaystyle \Delta =S_{0}}$ l'area del triangolo iniziale e supponiamo per brevità di scrittura ${\displaystyle L_{0}=1}$

Risulta allora

${\displaystyle N_{n}=3\cdot 4^{n},}$

${\displaystyle L_{n}=\left({\frac {1}{3}}\right)^{n},}$

${\displaystyle P_{n}=N_{n}\cdot L_{n},}$

da cui

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }P_{n}=+\infty ,}$

mentre per l'area risulta

${\displaystyle S_{n}=S_{n-1}+{\frac {\Delta }{3}}\left({\frac {4}{9}}\right)^{n-1}=\left[1+{\frac {1}{3}}\sum _{k=0}^{n-1}\left({\frac {4}{9}}\right)^{k}\right]\Delta }$

da cui

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }S_{n}={\frac {8}{5}}\Delta .}$

Per costruire un antifiocco si parte dal triangolo equilatero. Si merlettano i tre lati seguendo l'algoritmo di Koch, ma invece di merlettarli verso l'esterno ottenendo il fiocco di neve, si merlettano verso l'interno.^[3]

Il perimetro dell'antifiocco, come quello del fiocco è infinito ma l'area del triangolo iniziale ${\displaystyle \Delta }$ risulta diminuita invece che aumentata di ${\displaystyle {\frac {3}{5}}\Delta }$ (cioè ${\displaystyle {\frac {1}{5}}\Delta }$ per ogni lato merlettato) infatti:

${\displaystyle S_{n}=S_{n-1}-{\frac {\Delta }{3}}\left({\frac {4}{9}}\right)^{n-1}=\left[1-{\frac {1}{3}}\sum _{k=0}^{n-1}\left({\frac {4}{9}}\right)^{k}\right]\Delta }$

da cui

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }S_{n}={\frac {2}{5}}\Delta .}$

L'antifiocco di neve evidenzia una figura frattale ripetuta all'infinito con aree decrescenti in progressione geometrica di ragione ${\displaystyle {\frac {1}{9}}}$. Questa figura ha la forma di un fiocco di neve allungato, corrispondente alla fusione di due fiocchi in uno solo, ed è detta per questo, siamese di Koch. A differenza del fiocco e del siamese, l'antifiocco è autosimile infatti se, mantenendo il centro, si accorciano i tre bracci a partire dai siamesi più grandi, si ottiene un antifiocco più piccolo con area ridotta a ${\displaystyle {\frac {1}{9}}}$ dell'originale. ^[1]

Per ottenere il siamese di Koch, variante del fiocco di neve, si parte da due triangoli equilateri con un lato in comune che si elimina ottenendo un rombo. Si procede quindi alla merlettatura verso l'esterno dei quattro lati secondo l'algoritmo di Koch. Il perimetro di questa figura, essendo composta di curve di Koch, è infinito. L'area è invece ${\displaystyle 2\Delta +4{\frac {1}{5}}\Delta ={\frac {14}{5}}\Delta }$. Infatti all'area del rombo, che è pari a quella di due triangoli equilateri, si deve aggiungere, per ognuno dei quattro lati, l'area in eccedenza dovuta alla merlettatura che, come si è visto precedentemente, è ${\displaystyle {\frac {1}{5}}\Delta }$ per ogni lato.
Partendo dallo stesso rombo e merlettando i quattro lati internamente si ottiene l'anti-siamese. La stessa figura frattale che nell'anti-fiocco è ripetuta tre volte nei tre rami ruotati di 120 gradi che si congiungono al centro. Il perimetro è infinito e l'area è ${\displaystyle 2\Delta -{\frac {4}{5}}\Delta ={\frac {6}{5}}\Delta }$.
Se invece merlettiamo i quattro lati del rombo sia internamente che esternamente otteniamo un siamese contenente il suo anti-siamese; una figura che mostra la proprietà del siamese di potersi scomporre in infinite copie di se stesso. ^[1]

Per ottenere il pupazzo di neve di Koch si parte da un rombo con angolo acuto di 60 gradi e ottuso di 120. Le metà adiacenti all'angolo acuto si merlettano esternamente mentre le altre internamente. La figura ottenuta al limite è il pupazzo di neve che ha la stessa area del rombo generante e di tutti i livelli successivi. Infatti le quattro merlettature esterne aggiungono la stessa area tolta dalle interne. Il pupazzo tassella il piano con figure identiche similmente a quanto fa il rombo. Il pupazzo di neve di Koch si può scomporre in tre fiocchi di neve, due piccoli e uno grande. Questo perché il rombo si può scomporre in un esagono regolare con due triangoli equilateri adiacenti a due lati opposti paralleli. Merlettando esternamente i triangoli, si ottengono i due fiocchi piccoli; merlettando internamente l'esagono, il fiocco grande.^[1]

• 
  Pupazzo di neve di Koch
• 
  scomposto in tre fiocchi
• 
  Scomposto in nove fiocchi
• 
  Scomposto in infiniti siamesi

Se in una tassellazione del piano con pupazzi di neve di Koch si sostituiscono le scomposizioni del pupazzo in fiocchi di neve, si ottengono tassellazioni con fiocchi di diverse taglie.

• 
  tassellazione con pupazzi
• 
  dai pupazzi ai fiocchi
• 
  fiocchi in due taglie
• 
  fiocchi animati

Si può ottenere in molti modi, ma le taglie dei siamese sono infinite e decrescono in progressione geometrica.^[1]

• 
  Programma in MSWLogo
• 
  tassellazione con siamesi
• 
  con antisiamesi
• 
  con antifiocchi

• (FR) Helge von Koch, Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire, Archiv för Matemat., Astron. och Fys. 1, 681-702, 1904.

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla curva di Koch

• (EN) Von Koch’s snowflake curve, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Fiocco di neve di Koch, in MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Eric W. Weisstein, Anti-fiocco di neve di Koch, in MathWorld, Wolfram Research.
• G.Pietrocola, Arte della tassellazione del piano con fiocchi di Koch, su Tartapelago, maecla.it, Maecla, 2020. URL consultato il 1º luglio 2020.

Questi sono esempi di celebri costruzioni utilizzando il metodo Koch generalizzato:

• (EN) Eric W. Weisstein, Isola di Gosper, in MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Eric W. Weisstein, Frattale di Cesàro, in MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Eric W. Weisstein, Curva di Sierpinski, in MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Eric W. Weisstein, Curva di Hilbert, in MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Eric W. Weisstein, Curve del drago, in MathWorld, Wolfram Research.

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