Trigonometria

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La trigonometria, dal greco trígonon (τρίγωνον, triangolo) e métron (μέτρον, misura), quindi 'risoluzione del triangolo', è la parte della matematica che studia i triangoli a partire dai loro angoli. Il compito principale della trigonometria, così come rivela l'etimologia del nome, consiste nel calcolare le misure che caratterizzano gli elementi di un triangolo (lati, angoli, mediane ecc.) partendo da altre misure già note (almeno tre, di cui almeno una lunghezza), per mezzo di speciali funzioni.

Tale compito è indicato come risoluzione del triangolo. È anche possibile servirsi di calcoli trigonometrici nella risoluzione di problemi correlati a figure geometriche più complesse, come poligoni o figure geometriche solide, ed in molti altri rami della matematica.

Le funzioni trigonometriche (le più importanti delle quali sono il seno e il coseno), introdotte in questo ambito, vengono anche usate in maniera indipendente dalla geometria, comparendo anche in altri campi della matematica e delle sue applicazioni, ad esempio in connessione con la funzione esponenziale o con le operazioni vettoriali.

Lo stesso argomento in dettaglio: Storia delle funzioni trigonometriche.

Per molti secoli, la trigonometria dovette i suoi progressi quasi esclusivamente all'opera di grandi astronomi e geografi. Infatti, la fondazione di questa scienza si deve a Ipparco di Nicea e a Claudio Tolomeo, entrambi più astronomi e geografi che matematici. Contributi notevoli furono apportati a questa scienza dagli arabi, dal francese Levi ben Gershon e, successivamente, da Niccolò Copernico e Tycho Brahe, intenti a descrivere e a prevedere con sempre maggior precisione i fenomeni celesti, anche per un più esatto e comodo calcolo di longitudini e latitudini.

Strumento indispensabile della trigonometria sono le funzioni trigonometriche. Sono queste funzioni che associano lunghezze ad angoli, e viceversa.

Le tabelle in questa sezione mostrano le funzioni trigonometriche insieme alle loro principali proprietà; per ulteriori caratteristiche, consultare la voce relativa alla particolare funzione.

Sono dette funzioni trigonometriche dirette quelle che ad un angolo, solitamente espresso in radianti, associano una lunghezza o un rapporto fra lunghezze. A causa dell'equivalenza circolare degli angoli, tutte le funzioni trigonometriche dirette sono anche funzioni periodiche con periodo ${\displaystyle \pi }$ o ${\displaystyle 2\pi }$.

Funzioni trigonometriche dirette
Funzione	Notazione	Dominio	Immagine	Radici	Periodo	Funzione inversa
seno	sen, sin	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \left[-1,1\right]}$	${\displaystyle \mathbb {Z} \pi }$	${\displaystyle 2\pi }$	arcoseno
coseno	cos	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \left[-1,1\right]}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi }$	${\displaystyle 2\pi }$	arcocoseno
tangente	tan, tg	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \left({\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi \right)}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \mathbb {Z} \pi }$	${\displaystyle \pi }$	arcotangente
cotangente	cot, cotg, ctg	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \pi }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi }$	${\displaystyle \pi }$	arcocotangente
secante	sec	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \left({\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi \right)}$	${\displaystyle \left(-\infty ,{-1}\right]\cup \left[1,+\infty \right)}$	nessuna	${\displaystyle 2\pi }$	arcosecante
cosecante	csc, cosec	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \pi }$	${\displaystyle \left(-\infty ,{-1}\right]\cup \left[1,+\infty \right)}$	nessuna	${\displaystyle 2\pi }$	arcocosecante

Ad ogni funzione trigonometrica diretta è associata una funzione inversa. Il dominio di ciascuna funzione trigonometrica inversa corrisponde, com'è prevedibile, al codominio della rispettiva funzione diretta. Poiché le funzioni dirette sono, tuttavia, periodiche, e perciò non iniettive, per poterle invertire è necessario restringerne il dominio rendendole biiettive. La scelta della restrizione è teoricamente irrilevante e le possibilità sono infinite. La convenzione (rigida, in questo campo) vuole però che i domini vengano ristretti agli intervalli ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$ oppure ${\displaystyle \left[0,\pi \right]}$, in cui le funzioni — e dunque anche le loro inverse — siano monotone. Anche le funzioni arcosecante ed arcocosecante vengono definite dall'inversione delle funzioni dirette ristrette ad uno di tali intervalli.

Funzioni trigonometriche inverse
Funzione	Notazione	Dominio	Codominio	Radici	Andamento	Funzione inversa
arcoseno	${\displaystyle \operatorname {arcsen} }$, ${\displaystyle \arcsin }$, ${\displaystyle \operatorname {asin} }$, ${\displaystyle \operatorname {sen} ^{-1}}$[1]	${\displaystyle \left[-1,1\right]}$	${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$	0	${\displaystyle \nearrow }$	seno
arcocoseno	${\displaystyle \arccos }$, ${\displaystyle \operatorname {acos} }$, ${\displaystyle \cos ^{-1}}$	${\displaystyle \left[-1,1\right]}$	${\displaystyle \left[0,\pi \right]}$	1	${\displaystyle \searrow }$	coseno
arcotangente	${\displaystyle \arctan }$, ${\displaystyle \operatorname {arctg} }$, ${\displaystyle \operatorname {atan} }$, ${\displaystyle \tan ^{-1}}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)}$	0	${\displaystyle \nearrow }$	tangente
arcocotangente	arccot, arccotg, arcctg, acot, cot−1	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \left(0,\pi \right)}$	${\displaystyle +\infty }$	${\displaystyle \searrow }$	cotangente
arcosecante	arcsec, asec, sec−1	${\displaystyle \left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,+\infty \right)}$	${\displaystyle \left[0,\pi \right]}$	1	crescente, con una discontinuità in ${\displaystyle \left[-1,1\right]}$	secante
arcocosecante	arccsc, arccosec, acsc, csc−1	${\displaystyle \left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,+\infty \right)}$	${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$	${\displaystyle \pm \infty }$	decrescente, con una discontinuità in ${\displaystyle \left[-1,1\right]}$	cosecante

Nella tabella che segue sono indicati i valori delle funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e cotangente degli angoli notevoli compresi tra 0° e 90°:

Angolo α in gradi	Angolo α in radianti	sin(α)	cos(α)	tan(α)	cot(α)
0°	0	0	1	0	${\displaystyle \nexists }$
15°	${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$
18°	${\displaystyle {\frac {\pi }{10}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5-2{\sqrt {5}}}{5}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$
22° 30'	${\displaystyle {\frac {\pi }{8}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}+1}$
30°	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$
36°	${\displaystyle {\frac {\pi }{5}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{5}}}}$
45°	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	1	1
54°	${\displaystyle {\frac {3}{10}}\pi }$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{5}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$
60°	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$
67° 30'	${\displaystyle {\frac {3}{8}}\pi }$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}+1}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$
72°	${\displaystyle {\frac {2}{5}}\pi }$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5-2{\sqrt {5}}}{5}}}}$
75°	${\displaystyle {\frac {5}{12}}\pi }$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$
90°	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	1	0	${\displaystyle \nexists }$	0

${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1.}$

Da questa si ricavano

${\displaystyle \cos \alpha =\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }},}$

${\displaystyle \sin \alpha =\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}.}$

Ricordare di valutare la posizione di ${\displaystyle \alpha }$ per la scelta opportuna dei segni.

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }},}$

che vale solo per ${\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi }$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$.

Dalla definizione di ${\displaystyle \tan \alpha }$ e dalla prima relazione fondamentale si ricava che

${\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1}{1+\tan ^{2}\alpha }},}$

che vale solo per ${\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi }$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$.

Da questa si ricava

${\displaystyle \cos \alpha =\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\alpha }}}.}$

Ricordare di valutare la posizione di ${\displaystyle \alpha }$ per la scelta opportuna dei segni.

${\displaystyle \cot \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }},}$

che vale solo per ${\displaystyle \alpha \neq k\pi }$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$.

${\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }},}$

che vale solo per ${\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi }$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$.

${\displaystyle \csc \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }},}$

che vale solo per ${\displaystyle \alpha \neq k\pi }$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$.

Nella circonferenza goniometrica chiamiamo angoli associati gli angoli ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \pi -\alpha }$, ${\displaystyle \pi +\alpha }$ e ${\displaystyle 2\pi -\alpha }$. Tali angoli hanno in valore assoluto stesso seno e stesso coseno.

${\displaystyle \cos(\pi -\alpha )=-\cos \alpha ;}$

${\displaystyle \sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha ;}$

${\displaystyle \tan(\pi -\alpha )=-\tan \alpha .}$

${\displaystyle \cos(\pi +\alpha )=-\cos \alpha ;}$

${\displaystyle \sin(\pi +\alpha )=-\sin \alpha ;}$

${\displaystyle \tan(\pi +\alpha )=\tan \alpha .}$

${\displaystyle \cos(2\pi -\alpha )=\cos \alpha ;}$

${\displaystyle \sin(2\pi -\alpha )=-\sin \alpha ;}$

${\displaystyle \tan(2\pi -\alpha )=-\tan \alpha .}$

${\displaystyle \cos(-\alpha )=\cos \alpha ;}$

${\displaystyle \sin(-\alpha )=-\sin \alpha ;}$

${\displaystyle \tan(-\alpha )=-\tan \alpha .}$

Si dice che ${\displaystyle \cos \alpha }$ è una funzione pari, mentre ${\displaystyle \sin \alpha }$ e ${\displaystyle \tan \alpha }$ sono dispari.

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha ;}$

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos \alpha ;}$

${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cot \alpha .}$

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\sin \alpha ;}$

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=\cos \alpha ;}$

${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\cot \alpha .}$

In trigonometria, le formule di addizione e sottrazione permettono di trasformare le funzioni trigonometriche della somma o differenza di due angoli in un'espressione composta da funzioni trigonometriche dei due angoli.

• ${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta ;}$
• ${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta ;}$
• ${\displaystyle \tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }};}$
• ${\displaystyle \cot(\alpha +\beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \alpha +\cot \beta }}.}$

La formula della tangente vale per ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha +\beta \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi }$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$

La formula della cotangente vale per ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha +\beta \neq k\pi }$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$

• ${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \,\sin \beta ;}$
• ${\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta ;}$
• ${\displaystyle \tan(\alpha -\beta )={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }};}$
• ${\displaystyle \cot(\alpha -\beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta +1}{\cot \beta -\cot \alpha }}.}$

La formula della tangente vale per ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha -\beta \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi }$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$

La formula della cotangente vale per ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha -\beta \neq k\pi }$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$

• ${\displaystyle \sin(2\alpha )=2\sin \alpha \cos \alpha ;}$
• ${\displaystyle \cos(2\alpha )=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1;}$
• ${\displaystyle \tan(2\alpha )={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}.}$

L'ultima formula vale per ${\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi }$ e ${\displaystyle \alpha \neq \pm {\frac {\pi }{4}}+k\pi }$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$

• ${\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos(2\alpha )}{2}};}$
• ${\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos(2\alpha )}{2}};}$
• ${\displaystyle \tan ^{2}\alpha ={\frac {\sin ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}={\frac {1-\cos(2\alpha )}{1+\cos(2\alpha )}}.}$

L'ultima formula vale per ${\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi }$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$

Attenzione: è necessario valutare in quale quadrante cade ${\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}$ per poter scegliere i segni opportuni delle seguenti formule:

• ${\displaystyle \cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}};}$
• ${\displaystyle \sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}};}$
• ${\displaystyle \tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}.}$

L'ultima formula vale per ${\displaystyle \alpha \neq \pi +2k\pi }$.

• ${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},}$
• ${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {2t}{1+t^{2}}},}$
• ${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {2t}{1-t^{2}}},}$

dove ${\displaystyle t=\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)}$ con ${\displaystyle \alpha \neq \pi +2k\pi }$.

Lo stesso argomento in dettaglio: Formule di prostaferesi.

• ${\displaystyle \sin p+\sin q=2\sin \left({\frac {p+q}{2}}\right)\cos \left({\frac {p-q}{2}}\right);}$
• ${\displaystyle \sin p-\sin q=2\cos \left({\frac {p+q}{2}}\right)\sin \left({\frac {p-q}{2}}\right);}$
• ${\displaystyle \cos p+\cos q=2\cos \left({\frac {p+q}{2}}\right)\cos \left({\frac {p-q}{2}}\right);}$
• ${\displaystyle \cos p-\cos q=-2\sin \left({\frac {p+q}{2}}\right)\sin \left({\frac {p-q}{2}}\right).}$

Le formule di prostaferesi trasformano somme di funzioni goniometriche in prodotti.

• ${\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left[\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )\right];}$
• ${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )\right];}$
• ${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta =-{\frac {1}{2}}\left[\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta )\right].}$

Le formule di Werner trasformano prodotti di funzioni goniometriche in somme.

• ${\displaystyle a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+\phi ),}$

dove l'angolo ${\displaystyle \phi }$ è un qualunque angolo che soddisfa

${\displaystyle {\begin{cases}\cos \phi ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\\\sin \phi ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.\end{cases}}}$

Se si sceglie l'angolo ${\displaystyle \phi }$ nell'intervallo ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$, si può esplicitare nel seguente modo:

${\displaystyle \phi ={\begin{cases}\arctan({\frac {b}{a}}),&{\text{se }}a>0,\\\arctan({\frac {b}{a}})+\pi ,&{\text{se }}a<0{\text{ e }}b\geq 0,\\\arctan({\frac {b}{a}})-\pi ,&{\text{se }}a<0{\text{ e }}b<0,\\{\frac {\pi }{2}},&{\text{se }}a=0{\text{ e }}b>0,\\-{\frac {\pi }{2}},&{\text{se }}a=0{\text{ e }}b<0.\end{cases}}}$

L'angolo ${\displaystyle \phi }$ non è definito se ${\displaystyle a=b=0,}$ in tal caso l'uguaglianza iniziale si riduce all'identità ${\displaystyle 0=0.}$

Nel gergo matematico risolvere un triangolo rettangolo significa calcolare le misure dei lati e degli angoli del triangolo. Per convenzione esiste una nomenclatura nei triangoli rettangoli che si può vedere in figura. Si ricorda che:

• ${\displaystyle \alpha =90^{o}}$ e ${\displaystyle \beta +\gamma =90^{o};}$
• un angolo è adiacente ad un cateto se il cateto risulta essere uno dei lati dell'angolo in questione;
• un angolo è opposto ad un cateto se il cateto non è uno dei lati dell'angolo in questione.

Ad esempio ${\displaystyle \beta }$ è opposto al cateto ${\displaystyle b}$ e adiacente al cateto ${\displaystyle c}$.

Sotto queste convenzioni in un triangolo rettangolo valgono i seguenti teoremi.

Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa con il seno dell'angolo opposto al cateto.

Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa con il coseno dell'angolo acuto adiacente al cateto.

Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'altro cateto con la tangente dell'angolo opposto al cateto da calcolare.

Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'altro cateto con la cotangente dell'angolo acuto adiacente al cateto da calcolare.

Tali teoremi si traducono nelle seguenti formule per la risoluzione dei triangoli rettangoli.

${\displaystyle a={\frac {c}{\sin \gamma }}\quad \Rightarrow \quad c=a\sin \gamma .}$

${\displaystyle a={\frac {b}{\cos \gamma }}\quad \Rightarrow \quad b=a\cos \gamma .}$

${\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {\sin \gamma }{\cos \gamma }}\quad \Rightarrow \quad c=b\tan \gamma .}$

${\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {\cos \gamma }{\sin \gamma }}\quad \Rightarrow \quad b=c\cot \gamma .}$

${\displaystyle a={\frac {b}{\sin \beta }}\quad \Rightarrow \quad b=a\sin \beta .}$

${\displaystyle a={\frac {c}{\cos \beta }}\quad \Rightarrow \quad c=a\cos \beta .}$

${\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {\sin \beta }{\cos \beta }}\quad \Rightarrow \quad b=c\tan \beta .}$

${\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {\cos \beta }{\sin \beta }}\quad \Rightarrow \quad c=b\cot \beta .}$

Si consideri un triangolo rettangolo ${\displaystyle ABC}$ con angolo retto di vertice ${\displaystyle A}$. Detto ${\displaystyle CA}$ l'asse ${\displaystyle x}$, sul vertice ${\displaystyle C}$ si costruisce una circonferenza di raggio ${\displaystyle CP=1}$. Le coordinate del punto ${\displaystyle P}$ rappresentano il ${\displaystyle \cos \gamma }$ e il ${\displaystyle \operatorname {sen} \gamma }$, e poiché ${\displaystyle \gamma }$ è acuto indicano anche rispettivamente le lunghezze dei cateti ${\displaystyle CH}$ e ${\displaystyle PH}$.

Dalla figura si può osservare che i due triangoli rettangoli ${\displaystyle ABC}$ e ${\displaystyle HPC}$ sono simili in quanto hanno due angoli congruenti: ${\displaystyle \gamma }$ in comune e gli angoli retti di vertice ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle H}$. Quindi è possibile costruire la proporzione fra i lati omologhi dei due triangoli simili (lati opposti agli angoli congruenti):

${\displaystyle {\frac {\overline {BC}}{\overline {PC}}}={\frac {\overline {BA}}{\overline {PH}}}={\frac {\overline {CA}}{\overline {CH}}}.}$

Sostituendo le misure dei lati si ottiene

${\displaystyle {\frac {a}{1}}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {b}{\cos \gamma }}}$

e quindi

${\displaystyle a={\frac {c}{\sin \gamma }}\quad \Rightarrow \quad c=a\sin \gamma ;}$

${\displaystyle a={\frac {b}{\cos \gamma }}\quad \Rightarrow \quad b=a\cos \gamma .}$

Da queste due si ricava anche

${\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {\sin \gamma }{\cos \gamma }}\quad \Rightarrow \quad c=b\tan \gamma ;}$

${\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {\cos \gamma }{\sin \gamma }}\quad \Rightarrow \quad b=c\cot \gamma .}$

Questo ragionamento può essere chiaramente esteso anche al terzo angolo ${\displaystyle \beta }$ in modo da ottenere formule analoghe

${\displaystyle a={\frac {b}{\sin \beta }}\quad \Rightarrow \quad b=a\sin \beta ;}$

${\displaystyle a={\frac {c}{\cos \beta }}\quad \Rightarrow \quad c=a\cos \beta ;}$

${\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {\sin \beta }{\cos \beta }}\quad \Rightarrow \quad b=c\tan \beta ;}$

${\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {\cos \beta }{\sin \beta }}\quad \Rightarrow \quad c=b\cot \beta .}$

Si consideri il seguente problema: calcolare l'altezza di una torre ${\displaystyle AB}$, potendo stare solo alla base (piano orizzontale) della stessa. Si distinguono due casi

In questo caso basta misurare il cateto ${\displaystyle AC}$ (${\displaystyle b}$), e dal punto ${\displaystyle C}$ misurare l'angolo acuto ${\displaystyle ACB}$ (${\displaystyle \gamma }$) sotto cui si vede la sommità della torre ${\displaystyle AB}$ (${\displaystyle c}$). Applicando opportunamente le formule si ottiene

${\displaystyle h_{\text{torre}}=c=b\tan \gamma .}$

In questo caso ${\displaystyle AC}$ (${\displaystyle b_{1}=x}$) è incognita (in quanto il piede ${\displaystyle A}$ non è raggiungibile). Si fa dunque una misura orizzontale ${\displaystyle CD}$ (${\displaystyle d}$) (quindi il cateto ${\displaystyle AD}$ è ${\displaystyle b_{2}=x+d}$). Dal punto ${\displaystyle C}$ si misura l'angolo acuto ${\displaystyle ACB}$ (${\displaystyle \gamma _{1}}$) e da ${\displaystyle D}$ si misura l'angolo acuto ${\displaystyle ADB}$ (${\displaystyle \gamma _{2}}$) sotto cui si vede la sommità della torre ${\displaystyle AB}$ (${\displaystyle c}$). Applicando opportunamente le formule si ottiene

${\displaystyle h_{\text{torre}}=c=b_{1}\tan \gamma _{1}=x\tan \gamma _{1};}$

${\displaystyle h_{\text{torre}}=c=b_{2}\tan \gamma _{2}=(x+d)\tan \gamma _{2}.}$

Confrontando le due altezze si ottiene una equazione nell'incognita ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x\tan \gamma _{1}=(x+d)\tan \gamma _{2}.}$

Questa equazione è facilmente risolvibile noti ${\displaystyle d}$, ${\displaystyle \gamma _{1}}$ e ${\displaystyle \gamma _{2}.}$

Trovato ${\displaystyle x}$ si ha ${\displaystyle b_{1}}$ e quindi si può calcolare

${\displaystyle h_{\text{torre}}=c=b_{1}\tan \gamma _{1}.}$

Per calcolare l'area del triangolo ${\displaystyle ABC}$, di base ${\displaystyle CB=a}$, serve l'altezza ${\displaystyle AH}$. Nel triangolo rettangolo ${\displaystyle CHA}$, di ipotenusa ${\displaystyle AC=b}$, l'altezza ${\displaystyle AH=h}$ può essere vista come il cateto che si oppone all'angolo ${\displaystyle \gamma }$. Utilizzando in modo opportuno le formule dei triangoli rettangoli si ottiene

${\displaystyle AH=h=b\sin \gamma }$

e quindi

${\displaystyle {\text{Area}}={\frac {1}{2}}ah={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma .}$

Questa formula vale anche se ${\displaystyle \gamma }$ è ottuso.

Fissato su un piano un punto origine ${\displaystyle O(0;0)}$ e una semiretta ${\displaystyle Or}$, dato un punto ${\displaystyle P}$ del piano esso è univocamente individuato da una coppia di numeri reali ${\displaystyle (\rho ,\theta )}$ con la condizione ${\displaystyle \rho >0}$ e ${\displaystyle 0\leq \theta <360^{o}}$. La coppia di numeri reali rappresenta le coordinate polari di ${\displaystyle P}$. Geometricamente ${\displaystyle \rho }$ rappresenta la distanza ${\displaystyle OP}$, mentre ${\displaystyle \theta }$ rappresenta l'angolo ${\displaystyle HOP}$ misurato in senso antiorario con primo lato ${\displaystyle OH}$.

È possibile trovare le relazioni esistenti tra le coordinate cartesiane ${\displaystyle (x;y)}$ e le coordinate polari ${\displaystyle (\rho ;\theta )}$ del punto ${\displaystyle P}$. Le seguenti considerazioni fatte per un punto ${\displaystyle P}$ sul primo quadrante valgono anche per gli altri quadranti.

Utilizzando le formule dei triangoli rettangoli si trovano le formule per la trasformazione in coordinate cartesiane

${\displaystyle {\begin{cases}x=\rho \cos \theta \\y=\rho \sin \theta .\end{cases}}}$

Elevando al quadrato e sommando si ottiene ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=\rho ^{2}}$ e quindi si possono ricavare le formule per la trasformazione in coordinate polari

${\displaystyle {\begin{cases}\cos \theta ={\frac {x}{\rho }}\\\sin \theta ={\frac {y}{\rho }}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}\cos \theta ={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\\\sin \theta ={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\tan \theta =y/x.\end{cases}}}$

Fare attenzione che la tangente goniometrica non esiste per ${\displaystyle x=0}$ ed è periodica di 180° e dunque bisogna valutare preventivamente la posizione di ${\displaystyle P}$ per calcolare correttamente ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta ={\begin{cases}\arctan(y/x)&{\text{se }}x>0\\\arctan(y/x)+\pi &{\text{se }}x<0.\end{cases}}}$

I teoremi trigonometrici permettono la risoluzione di problemi di varia natura legata alla figura di un triangolo qualsiasi, esprimendo rapporti tra i lati e gli angoli di questo.

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema della corda.

Data una circonferenza e una corda ${\displaystyle AB}$, il rapporto tra tale corda e il seno di un qualsiasi angolo alla circonferenza che insiste su di essa è uguale al diametro della circonferenza:

${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\sin {\widehat {C}}}}=2r.}$

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema dei seni.

Considerato un triangolo qualsiasi di lati ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$, il rapporto tra i lati e i seni dei rispettivi angoli opposti è costante ed è uguale al diametro della circonferenza circoscritta:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2r.}$

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema del coseno.

Il teorema del coseno (chiamato anche teorema di Carnot) afferma che in un qualsiasi triangolo, il quadrato di un lato è uguale alla differenza tra la somma dei quadrati degli altri due lati e il doppio prodotto di tali lati per il coseno dell'angolo compreso tra essi.

${\displaystyle {\overline {BA}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}-2{\overline {AC}}\cdot {\overline {BC}}\cos \gamma .}$

Ossia, indicando con ${\displaystyle a,b,c}$ la lunghezza dei lati e ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ gli angoli ad essi opposti, si ottiene

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha ;}$

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta ;}$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .}$

Può essere considerato una generalizzazione del teorema di Pitagora.

Nel gergo matematico risolvere un triangolo significa calcolare le misure dei lati e degli angoli del triangolo. Per risolvere un triangolo qualsiasi devono essere noti tre elementi dei quali almeno uno deve essere un lato. Si possono presentare quattro casi:

1. sono noti un lato e due angoli;
2. sono noti tre lati;
3. sono noti due lati e l'angolo compreso;
4. sono noti due lati e uno dei due angoli opposti ai lati dati.

La nomenclatura dei lati e degli angoli segue la convenzione in figura.

Sia ${\displaystyle a}$ il lato noto e ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ i due angoli noti. Il problema ha sempre una sola soluzione se sono rispettate le seguenti condizioni

${\displaystyle \alpha +\beta <180^{o},}$

in caso contrario il problema non ha soluzione.

1. Calcolare l'angolo mancante ${\displaystyle \gamma =180^{o}-(\alpha +\beta ).}$
2. Calcolare il lato incognito ${\displaystyle b}$ utilizzando il teorema dei seni: ${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}.}$
3. Calcolare il lato incognito ${\displaystyle c}$ utilizzando il teorema dei seni: ${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {c}{\sin \gamma }}.}$

Il problema ha sempre una sola soluzione se sono rispettate le disuguaglianze triangolari, in caso contrario il problema non ha soluzione.

1. Calcolare l'angolo ${\displaystyle \alpha }$ mediante il teorema del coseno: ${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}.}$
2. Calcolare l'angolo ${\displaystyle \beta }$ mediante il teorema del coseno: ${\displaystyle \cos \beta ={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}.}$
3. Calcolare l'angolo mancante ${\displaystyle \gamma =180^{o}-(\alpha +\beta ).}$