Utente:Lucatancredi/Poincare

Jules Henri Poincaré (29 Aprile 1854 – 17 Luglio 1912) fu un matematico, un fisico teorico e un filosofo naturale francese. Poincaré viene considerato un enciclopedico e in matematica l’ ultimo universalista, dal momento che eccelse in tutti i campi della disciplina nota ai suoi giorni.

Come matematico e fisico, diede molti contributi originali alla matematica pura, alla matematica applicata, alla fisica matematica e alla meccanica celeste. A lui si deve la formulazione della congettura di Poincaré, uno dei più famosi problemi in matematica. Nelle sue ricerche sul problema dei tre corpi, Poincaré fu la prima persona a scoprire un sistema caotico deterministico che fondò le basi della moderna teoria del caos. Viene considerato come uno dei fondatori della topologia.

Poincaré introdusse il moderno principio di relatività e fu il primo a presentare le trasformazioni di Lorentz nella loro moderna forma simmetrica. Poincaré completò le trasformazioni concernenti la velocità relativistica e le trascrisse in una lettera a Lorentz nel 1905. Ottenne così la perfetta invarianza delle equazioni di Maxwell, un passo importante nella formulazione della teoria della relatività ristretta.

Il gruppo di Poincaré usato in fisica e matematica deve a lui il suo nome.

Poincaré nacque il 29 aprile 1854 nei dintorni di Cité Ducale, Nancy, Francia, nell’ambito di una famiglia influente (Belliver, 1956). Il padre, Leon Poincaré (1828–1892) fu professore di medicina all’ università di Nancy (Sagaret, 1911). La sua adorata sorella minore Alina sposò il filosofo spirituale Emile Boutroux. Un altro membro notevole della famiglia di Jules fu il cugino Raymond Poincaré, che sarebbe divenuto Presidente della Francia dal 1913 al 1920, e un membro onorario dell’ Académie Française.^[1]

Durante la sua infanzia cadde a lungo malato di difterite e ricevette un’istruzione speciale dalla madre, Eugénie Launois (1830–1897).

Nel 1862 entrò al Liceo di Nancy (oggi rinominato Liceo Henry Poincaré in suo onore, così come l’Università di Nancy). Trascorse undici anni al Liceo e durante questo periodo dimostrò di essere uno dei migliori studenti in tutte le discipline studiate. Eccelleva in composizione scritta. Il suo insegnante di matematica lo descriveva come un "mostro in matematica" e vinse i primi premi ai concorsi tra i migliori studenti dei licei francesi. (Le sue materie deboli erano musica ed educazione fisica, dove era descritto come “nella media” (O'Connor et al., 2002). Comunque, la vista debole e la tendenza alla distrazione possono spiegare tali difficoltà (Carl, 1968). Si diplomò al Liceo nel 1871.

Durante la Guerra Franco-Prussiana del 1870 servì con il padre nel corpo di soccorso medico.

Poincaré entrò all’ École Polytechnique nel 1873. Studiò matematica avendo come insegnante Charles Hermite, continuò ad eccellere e pubblicò il suo primo trattato (Démonstration nouvelle des propriétés de l'indicatrice d'une surface) nel 1874. Si laureò nel 1875 o 1876. Proseguì gli studi presso l’École des Mines, continuò a studiare matematica oltre che ingegneria mineraria conseguendo la laurea in ingegneria nel Marzo 1879.

Laureatosi all’ École des Mines entrò nella Società Mineraria come ispettore della regione di Vesoul, nel nordest della France. Era sul posto durante il disastro di Magny nell’ Agosto 1879, ove persero la vita 18 minatori. Espletò le indagini ufficiali nell’incidente in un modo assai coinvolto e umanitario.

Nello stesso tempo, Poincaré si stava preparando per il dottorato in scienze e matematica sotto la supervisione di Charles Hermite. La sua tesi di dottorato fu nel campo delle equazioni differenziali. Si intitolava Sulle proprità delle funzioni finite per le equazioni differenziali. Poincaré ravvisò un nuovo modo di studiare le proprietà di queste equazioni. Non solo affrontò il problema di determinare l’integrale di tali equazioni, ma anche fu il primo a studiarne le proprietà geometriche. Capì che potevano essere utilizzate per costruire un modello del comportamento dei multi-corpi in moto libero nel sistema solare. Poincaré si laureò all’Università di Parigi nel 1879.

Poco dopo gli fu offerto un posto come lettore junior presso l’Università di Caen, ma non abbandonò mai la sua carriera mineraria per la matematica. Lavorò al Ministero dei Servizi Pubblici come ingegnere responsabile dello sviluppo delle ferrovie del nord della Francia dal 1881 al 1885. Egli diventò poi ingegnere capo della Società Mineraria nel 1893 e ispettore generale nel 1910.

A partire dal 1881 e per il resto della sua carriera, fu insegnante all’ Università di Parigi (la Sorbonne). Fu inizialmente nominato “maestro di conferenze di analisi” (professore associato di analisi) (Sageret, 1911). Oltre a ciò, occupò il posto di insegnante di Meccanica Fisica e Sperimentale, Fisica Matematica, Teoria della Probabilità, Meccanica Celeste ed Astronomia.

Nello stesso anno, Poincaré sposò Miss Poulain d'Andecy. Insieme ebbero quattro figli: Jeanne (nata 1887), Yvonne (nata 1889), Henriette (nata 1891), and Léon (nato 1893).

Nel 1887, alla giovane età di 32 anni, Poincaré divenne membro dell’ Accademia delle Scienze. Ne divenne presidente nel 1906, e divenne membro della Académie française nel 1909.

Nel 1887 vinse il concorso matematico Oscar II, Re di Svezia per la risoluzione del problema a tre corpi che riguardava il moto libero dei molti-corpi in orbita. (Vedi #Il problema dei tre corpi sezione sotto)

Nel 1893 Poincaré fece parte del Bureau des Longitudes, che lo occupò nel problema della sinconizzazione dell’orario nel mondo. Nel 1897 riportò una soluzione infruttuosa per rendere decimale la misura circolare e quindi il tempo e la longitudine (see Galison 2003). Fu questo che lo portò a considerare il problema di stabilire i fusi orari e la sincronizzazione temporale tra corpi in moto relativo tra loro. (Vedi #Lavori sulla relatività sezione sotto)

Nel 1904 e con ancor più successo nel 1904, intervenne con nell’affare Alfred Dreyfus, un ufficiale ebreo dell’esercito francese accusato di tradimento dai colleghi antisemiti.

Nel 1912 Poincaré si sottopose ad un intervento chirurgico per un problema alla prostata e morì successivamente per embolia il 17 Luglio 1912, a Paris. Aveva 58 anni. E’ sepolto presso la cappella della famiglia Poincaré nel Cimitero di Montparnasse, Parigi.

Il Ministro francese per l’Educazione, Claude Allegre, ha recentemente proposto (2004) che Poincaré sia sepolto nel Panthéon di Parigi, che è riservato solo ai cittadini francesi più importanti.^[2]

Poincaré ebbe due importanti studenti di dottorato all’ Università di Parigi, Louis Bachelier (1900) e Dimitrie Pompeiu (1905). ^[3]

Poincaré diede molti contributi in svariati campi della matematica pura e applicata come: meccanica celeste, meccanica dei fluidi, ottica, elettricità, telegrafia, capillarità, elasticità, termodinamica, teoria del potenziale, teoria dei quanti, teoria della relatività e cosmologia.

Fu anche un divulgatore di matematica e fisica e scrisse parecchi libri per il pubblico più ampio.

Tra le materie a cui contribuì maggiormente si segnalano:

• topologia algebrica
• teoria delle funzioni analitiche a variabili complesse
• la teoria delle funzioni abeliane
• geometria algebrica
• Poincaré è responsabile della formulazione di uno dei più famosi problemi in matematica, noto come la Congettura di Poincaré , nell’ambito della topologia.
• teorema di Poincaré della ricorrenza
• geometria iperbolica
• teoria dei numeri
• problema a N-corpi
• la teoria delle equazioni diofantee
• elettromagnetismo
• teoria della relatività ristretta
• In un quaderno del 1894 introdusse il concetto di gruppo fondamentale.
• Nel campo delle equazioni differenziali ha fornito molti risultati che sono cruciali per la teoria qualitativa delle equazioni differenziali, per esempio la sfera di Poincaré e la mappa di Poincaré.
• Pubblicò un quaderno importante che riporta un inedito argomento matematico a favore della meccanica quantistica.^[4][5]

Il problema di trovare la soluzione generale al moto di più di due corpi orbitanti nel sistema solare aveva eluso i matematici sin dal tempo di Newton. Inizialmente era noto come il problema a tre corpi e poi più tardi come il problema a n corpi, dove “n” sta ad indicare un numero maggiore di due oggetti orbitanti. Il problema a n corpi veniva considerato una sfida alla fine del diciannovesimo secolo. Anzi, nel 1887, in onore del sessantesimo compleanno, Oscar II, Re di Svezia, consigliato da Gösta Mittag-Leffler, istituì un premio per chi avesse trovato la soluzione al problema. L'annuncio era piuttosto specifico:

Nel caso il problema non fosse stato risolto, ogni altro contributo alla meccanica celeste sarebbe stato considerato degno di vincere il premio. Il premio fu assegnato a Poincaré, sebbene egli non avesse risolto il problema. Uno dei giudici, il noto Karl Weierstrass, disse, "Questo lavoro non si può proprio considerare la soluzione completa del problema proposto, tuttavia è di una tale importanza che la sua pubblicazione inaugurerà una nuova era nella storia della meccanica celeste." (La prima versione del suo contributo conteneva persino un errore grave; per maggiori dettagli vesi l’articolo di Diacu^[6]). La versione pubblicata conteneva notevoli idee che portaro in seguito alllo sviluppo della teoria del caso. Il problema originale fu poi risolto da Karl F. Sundman per n = 3 nel 1912 e fu generalizzato al caso di n > 3 da Qiudong Wang negli anni ‘90.

Il lavoro di Poincaré presso il Bureau des Longitudes su come stabilire i fusi orari internazionali lo portò a considerare come gli orologi, nel resto del mondo, in moto a diverse velocità relative rispetto allo spazio assoluto ( o all’ “etere lumini fero”), potessero essere sincronizzati. Nello stesso tempo il fisico teorico olandese Hendrik Lorentz stava sviluppando la teoria di Maxwell in una teoria di moto delle particelle cariche ("elettroni" o "ioni"), e la loro interazione con la radiazione. Egli aveva introdotto nel 1895 una quantità ausiliaria (senza darne un’interpretazione fisica) chiamata “tempo proprio” ${\displaystyle t^{\prime }=t-vx^{\prime }/c^{2}}$, dove ${\displaystyle x^{\prime }=x-vt}$ e introdusse l’ipotesi della contrazione della lunghezza allo scopo di spiegare il fallimento degli esperimenti di ottica e di elettricità per individuare il moto relativo all’etere (vedi esperimento di Michelson-Morley).^[7] Poincaré fu un costante interprete (e a volte amichevolmente critico) della teoria di Lorentz, infatti come filosofo era interessato al "significato più profondo" e così facendo pervenne a molti risultati che sono ora associati alla teoria della relatività speciale. In The Measure of Time (1898), trattò la difficoltà di stabilire la simultaneità a distanza e concluse che si potesse stabilire per convenzione. Egli asserì anche che gli scienziati dovevano porre la costanza della velocità della luce come postulato per dare alla teoria fisica la forma più semplice.^[8] Sulla base di queste assunzioni si occupò nel 1900 della “meravigliosa invenzione” di Lorentz del tempo proprio e precisò che essa era necessaria quando orologi in moto sono sincronizzati scambiandosi segnali di luce che viaggiano alla stessa velocità in entrambe le direzioni in una sistema di riferimento in moto.^[9]

Egli trattò il "principio del moto relativo" in due quaderni del 1900^[10][9] e lo chiamò principio di relatività nel 1904, in accordo al quale nessun esperimento di meccanica o di elettromagnetismo può discriminare tra uno stato di moto uniforme e uno stato di quiete.^[11] Nel 1905 scrisse a Lorentz sul suo lavoro del 1904, considerato come un "lavoro della massima importanza." Nella lettera metteva in evidenza un errore che Lorentz aveva commesso applicando le sue trasformazioni ad una delle equazioni di Maxwell, e affrontò inoltre il problema del fattore di dilatazione temporale .^[12] In una seconda lettera a Lorentz, Poincaré diede la sua spiegazione sul perchè il fattore di dilatazione temporale di Lorentz fosse corretto: era necessario che la trasformazione di Lorentz formasse un gruppo e formulò quella che è oggi nota come legge di composizione della velocità relativistica.^[13] Poincaré in seguito spedì un quaderno al congresso dell’Accademia delle Scienze di Parigi del 5 Giugno 1905 a cui erano rivolte tali pubblicazioni. Nella versione pubblicata scriveva^[14]:

e mostrò che la funzione arbitraria ${\displaystyle \ell \left(\varepsilon \right)}$ deve avere valore unitario per tutti gli ${\displaystyle \varepsilon }$ (Lorentz aveva posto ${\displaystyle \ell =1}$ seguendo un’altra strada) per fare in modo che le trasformazioni formino un gruppo. In una versione ampliata del quaderno del 1906 Poincaré affermò che la combinazione ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}}$ è invariante. Notò che la trasformazione di Lorentz è di fatto una rotazione nello spazio quadridimensionale attorno all’origine introducendo ${\displaystyle ct{\sqrt {-1}}}$ come quarta coordinata immaginaria, e usò una forma primitiva del quadrivettore.^[15] Il tentativo di Poincaré di riformulare la meccanica nello spazio quadrimensionale fu rifiutata da lui stesso nel 1907, perchè riteneva che la traduzione della fisica nel linguaggio della metrica quadrimensionale richiedesse troppo sforzo per un beneficio esiguo.^[16] Così fu Hermann Minkowski a lavorare sulle conseguenze della sua notazione del 1907.

Come altri prima di lui, Poincaré (1900) scoprì la relazione tra massa ed energia elettromagnetica. Studiando la discrepanza fra principio di azione e reazione esteso e la teoria di Lorentz, egli cercò di determinare se il centro di gravità si muove ancora a velocità costante in presenza di campi elettromagnetici.^[9] Notò che il principio di azione e reazione non si applica solo alla materia, ma anche il campo elettromagnetico ha una quantità di moto propria. Poincaré concluse che l’energia del campo elettromagnetico di un’onda elettromagnetica si comporta come un fluido fittizio avente una densità di massa pari a E/c². Se il centro di massa è definito sia dalla massa della materia che da quella del fluido fittizio, e il fluido fittizio è indistruttibile – ovvero non è né creato né distrutto- allora il movimento del centro di massa è uniforme. Ma l’energia elettromagnetica si può convertire in altre forme di energia. Così Poincaré assunse che esiste un‘energia di fluido non elettrico in ogni punto dello spazio, che porta con sé una massa proporzionale all’energia, e che l’energia elettromagnetica può essere trasformata in essa. Così il movimento del centro di massa si mantiene costante. Poincaré disse che non si doveva essere troppo sorpresi da ciò dal momento che si trattava di assunzioni matematiche.

Comunque la soluzione di Poincaré portava ad un paradosso quando si cambiava il sistema di riferimento: se un oscillatore Hertziano irraggia in una certa direzione, subirà un rinculo a causa dell’inerzia del fluido fittizio. Poincaré applicò una spinta di Lorentz (dell’ordine di v/c) al riferimento della sorgente in moto e notò che la conservazione dell’energia valeva per entrambi i riferimenti, mentre la conservazione del momento veniva violata. Questo avrebbe consentito il moto perpetuo, un concetto che egli aborriva. Le leggi della natura sarebbero state diverse al cambiare del sistema di riferimento e il principio di relatività non sarebbe stato più valido. Quindi asserì che anche in questo caso ci doveva essere un altro meccanismo di compensazione nell’etere.

Poincaré stesso ritornò sull’argomento nella sua lettura di St. Louis del (1904).^[11] In questa circostanza (e più tardi anche nel 1908) rifiutò ^[17] la possibilità che l’energia potesse avere una massa e anche la possibilità che il moto nell’etere potesse compensare i problemi sopra menzionati:

Egli si occupò anche di altri due effetti inspiegabili: (1) la non conservazione della massa desunta dalla massa variabile di Lorentz ${\displaystyle \gamma m}$, la teoria di Abraham sulla massa variabile e gli esperimenti di Kaufmann sulla massa degli elettroni in moto rapido e (2) la non conservazione dell’energia negli esperimenti con il Radio di Madame Curie.

Fu il concetto di Albert Einstein dell’ equivalenza massa–energia (1905), secondo cui un corpo che irradia energia o calore perde una quantità di massa pari a ${\displaystyle m=E/c^{2}}$ a risolvere il paradosso di Poincaré^[18], senza ricorrere ad alcun meccanismo di compensazione mediato dall’etere.^[19] L’oscillatore Hertziano perde massa nel processo di emissione e la quantità di moto si conserva in ogni sistema di riferimento. Comunque, per quanto riguarda la soluzione del problema del centro di gravità, Einstein notò che la formulazione di Poincaré e la propria del 1906 erano matematicamente equivalenti.^[20]

La prima relazione di Einstein sulla relatività fu pubblicata tre mesi dopo il breve studio di Poincaré.^[14]ma prima della versione ampliata dello stesso.^[15] Essa faceva assegnamento sul principio di relatività per ricavare le trasformazioni di Lorentz e usava una procedura simile per la sincronizzazione degli orologi a quella descritta da Poincaré (1900), ma era notevole il fatto che non ne parlasse affatto. Poincaré non venne mai a conoscenza del lavoro di Einstein sulla relatività ristretta. Einstein conobbe Poincaré dal testo della lettura del 1921 intitolato Geometrie und Erfahrung legato alle geometrie non euclidee, che non riguardava la relatività speciale. Qualche anno prima della sua morte Einstein dichiarò che Poincaré fu uno dei pionieri della relatività, dicendo che "Lorentz aveva riconosciuto che la trasformazione che porta il suo nome è essenziale per l’analisi delle equazioni di Maxwell, e Poincaré approfondì questo punto di vista ancora più a fondo..."^[21]

Poincaré aveva un punto di vista filosofico opposto a quello di Bertrand Russell e Gottlob Frege, che ritenevano la matematica una branca della logica. Poincaré non era assolutamente d’accordo, reputando che l’intuizione fosse la vita della matematica. Egli fornisce un interessante punto di vista nel suo libro Scienza ed ipotesi:

Per un osservatore superficiale, la verità scientifica è oltre la possibilità del dubbio, la logica della scienza è infallibile, e se gli scienziati talvolta sono in errore è solo a causa di una sbagliata interpretazione delle sue regole.

Poincaré credeva che l’ aritmetica fosse una scienza analitico/sintetica. Riteneva che gli assiomi di Peano non potessero essere provati in modo non circolare mediante il principio di induzione (Murzi, 1998), e quindi che l’aritmetica fosse una filosofia a priori e a posteriori sintetica e non analitica. Poincaré proseguiva dicendo che la matematica non poteva essere dedotta dalla logica dal momento che non è analitica. Le sue idee erano vicine a quelle di Immanuel Kant (Kolak, 2001, Folina 1992). Comunque non condivideva le idee di Kant in tutti i campi della filosofia e della matematica. Ad esempio, in geometria, Poincaré credeva che la struttura della geometria non euclidea potesse essere conosciuta analiticamente. Riteneva che la convenzione giocasse un ruolo molto importante in fisica. Il suo punto di vista divenne noto come "convenzionalismo". Poincaré credeva che la prima legge di Newton non fosse dedotta dall’esperienza, ma fosse un’assunzione convenzionale per la meccanica. Reputava anche che la geometria dello spazio fosse convenzionale. Comunque pensava che noi siamo così abituati alla geoemtria euclidea che preferiremmo cambiare le leggi fisiche per salvarla piuttosto che passare ad uno spazio geometrico non euclideo.

Le abitudini al lavoro di Poincaré sono state paragonate a quelle di un’ape che vola di fiore in fiore. Poincaré era interessato al modo in cui la sua mente lavorava; studiava le sue abitudini e consegnò un lavoro sulle sue osservazioni nel 1908 all’Istituto di Psicologia Generale di Parigi.

Il matematico Darboux dichiarò che era un intuitivo, adducendo la ragione che egli operava spesso per rappresentazione visiva. Egli non si preoccupava di non essere rigoroso e non amava la logica. Credeva che la logica non fosse un modo di inventare ma un modo di strutturare le idee, anzi riteneva che la logica limitasse le idee.

• Premio Oscar II, Re di Svezia (1887)
• Società Filosofica Americana 1899
• Gold Medal of the Royal Astronomical Society, Londra (1900)
• Premio Bolyai in 1905
• Medaglia Matteucci 1905
• French Academy of Sciences 1906
• Académie Française 1909
• Bruce Medal (1911)

Hanno il suo nome

• Premio Poincaré (Premio Internazionale per la Matematica e Fisica)
• Annales Henri Poincaré (Giornale scientifico)
• Il cratere Poincaré sulla Luna
• Asteroide 2021 Poincaré

• La Scienza e l'Ipotesi (1902). Edizione italiana: Bari, Dedalo, 1989. Traduzione G. Porcelli.
• Il Valore della Scienza (1905). Edizione italiana: Firenze, La Nuova Italia, 1994. Traduzione F. Albergàmo.
• Scienza e metodo (1908). Edizione italiana: Torino, Einaudi, 1997. A cura di C. Bartocci.
• Ultimi pensieri (1913).
• Théorie des tourbillons (1893).
• Electricité et Optique (1901).
• La théorie de Maxwell et les oscillations hertziennes : la télégraphie sans fil (1907).
• Leçons de mécanique céleste : professées à la Sorbonne. Tome I, Théorie générale des perturbations planétaires (1907).
• Leçons de mécanique céleste : professées à la Sorbonne. Tome II. Ière partie, Développement de la fonction perturbatrice (1907).
• Leçons de mécanique céleste : professées à la Sorbonne. Tome II. IIème partie, Théorie de la lune (1907).
• Thermodynamique (1908).
• Leçons sur les hypothèses cosmogoniques (1911).
• Calcul des probabilités (1912).

Scritti popolari sulla filosofia della scienza:

• 1902. Science and hypothesis., The Walter Scott publishing Co..
• 1905. The value of science., Dover reprint, 1958.
• 1908. Science et Methode (in French)..
• 1913. Last Essays., Dover reprint, 1963.

Su topologia algebrica:

• 1895. Analysis situs. The first systematic study of topology.

Sulla meccanica celeste:

• 1892–99. New Methods of Celestial Mechanics, 3 vols. English trans., 1967. ISBN 1563961172.
• 1905–10. Lessons of Celestial Mechanics.

Sulla filosofia della matematica:

• • Ewald, William B., ed., 1996. From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, 2 vols. Oxford Univ. Press. Contains the following works by Poincaré:
  • 1894, "On the nature of mathematical reasoning," 972–81.
  • 1898, "On the foundations of geometry," 982–1011.
  • 1900, "Intuition and Logic in mathematics," 1012–20.
  • 1905–06, "Mathematics and Logic, I–III," 1021–70.
  • 1910, "On transfinite numbers," 1071–74.

• Bell, Eric Temple, 1986. Men of Mathematics (reissue edition). Touchstone Books. ISBN 0671628186.
• Belliver, André, 1956. Henri Poincaré ou la vocation souveraine. Paris: Gallimard.
• Bernstein, Peter L, 1996. "Against the Gods: A Remarkable Story of Risk". (p. 199–200). John Wiley & Sons.
• Boyer, B. Carl, 1968. A History of Mathematics: Henri Poincaré, John Wiley & Sons.
• Grattan-Guinness, Ivor, 2000. The Search for Mathematical Roots 1870–1940. Princeton Uni. Press.
• Folina, Janet, 1992. Poincare and the Philosophy of Mathematics. Macmillan, New York.
• Gray, Jeremy, 1986. Linear differential equations and group theory from Riemann to Poincaré, Birkhauser
• Jean Mawhin, Henri Poincaré. A Life in the Service of Science (PDF), in Notices of the AMS, vol. 52, n. 9, October 2005, pp. 1036–1044.
• Kolak, Daniel, 2001. Lovers of Wisdom, 2nd ed. Wadsworth.
• Murzi, 1998. "Henri Poincaré".
• O'Connor, J. John, and Robertson, F. Edmund, 2002, "Jules Henri Poincaré". University of St. Andrews, Scotland.
• Peterson, Ivars, 1995. Newton's Clock: Chaos in the Solar System (reissue edition). W H Freeman & Co. ISBN 0716727242.
• Sageret, Jules, 1911. Henri Poincaré. Paris: Mercure de France.
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• Umberto Bottazzini. Poincaré : il cervello delle scienze razionali. Collana I grandi della scienza. Milano, Le Scienze, 1999.
• Mirella Fortino. Convenzione e razionalità scientifica in Henri Poincaré. Soveria Mannelli, Rubbettino, 1997. ISBN 88-7284-597-1.
• Donal O'Shea. La congettura di Poincaré. Milano, Rizzoli, 2007. ISBN 9788817015462.
• Ubaldo Sanzo. Poincaré e i filosofi. Lecce, Milella, 2000. ISBN 88-7048-364-9.
• George Szpiro. L'enigma di Poincaré : la congettura e la misteriosa storia del matematico che l'ha dimostrata. Prefazione di P. Odifreddi. Milano, Apogeo, 2008. ISBN 9788850327218.

• Congettura di Poincaré
• Bertrand Russell
• Matematica
• Fisica
• Relatività ristretta
• Topologia
• Gruppo fondamentale

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• Biografia dettagliata
• La Scienza e l'Ipotesi
• Testi
• Il Valore della Scienza
• (IT) L'ultimo lavoro postumo (1908-1909) di Léon Walras: Economia e meccanica, con una lettera critica di Henri Poicaré

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