Spazio vettoriale quoziente

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, lo spazio vettoriale quoziente o spazio quoziente è uno spazio vettoriale ottenuto da una coppia di spazi vettoriali ${\displaystyle U\subset V}$ uno contenuto nell'altro. Lo spazio quoziente si ottiene "collassando" ${\displaystyle U}$ allo zero. Si indica con ${\displaystyle V/U}$, che si legge ${\displaystyle V}$ mod ${\displaystyle U}$.

Dato uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ ed un sottospazio vettoriale ${\displaystyle U}$, lo spazio quoziente ${\displaystyle V/U}$ è l'insieme quoziente di ${\displaystyle V}$ (cioè l'insieme delle classi di equivalenza su ${\displaystyle V}$) determinato dalla relazione d'equivalenza:

${\displaystyle v\sim v'\Leftrightarrow v-v'\in U}$

Cioè, ${\displaystyle v}$ è equivalente a ${\displaystyle v'}$ se uno può essere ottenuto dall'altro aggiungendo un elemento del sottospazio ${\displaystyle U}$.

La classe di equivalenza di ${\displaystyle v}$ è spesso denotata con:

${\displaystyle [v]=v+U}$

dal momento che è data da:

${\displaystyle [v]=\{v+u:u\in U\}}$

Lo spazio quoziente ${\displaystyle V/U}$ è quindi definito come ${\displaystyle V/\sim }$, l'insieme di tutte le classi di equivalenza su ${\displaystyle V}$ per ${\displaystyle \sim }$. La funzione che associa ad un vettore ${\displaystyle x\in V}$ la classe di equivalenza ${\displaystyle [x]}$ è detta mappa quoziente.

Come nella costruzione di un gruppo quoziente, addizione e moltiplicazione per scalare "passano al quoziente": sono cioè definite in ${\displaystyle V/U}$ prendendo dei rappresentanti qualsiasi delle classi d'equivalenza. La dimensione dello spazio quoziente si dice codimensione di ${\displaystyle U}$ in ${\displaystyle V}$. Se ${\displaystyle V}$ è finito-dimensionale, questo è esattamente:

${\displaystyle {\mbox{codim}}_{V}(U)=\dim(V)-\dim(U)}$

Lo spazio quoziente è uno spazio vettoriale astratto, non necessariamente isomorfo a un sottospazio di ${\displaystyle V}$.

Ad esempio, sia ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ l'usuale piano cartesiano e ${\displaystyle Y}$ una retta passante per l'origine. Allora, assumendo che ogni retta è parallela a se stessa, lo spazio quoziente ${\displaystyle X/Y}$ rispetto alla relazione di parallelismo tra rette può essere identificato come l'insieme di tutte le rette in ${\displaystyle X}$ parallele a ${\displaystyle Y}$. In generale, se ${\displaystyle V}$ è una somma diretta di sottospazi ${\displaystyle U}$ e ${\displaystyle W}$:

${\displaystyle V=U\oplus W}$

allora il quoziente ${\displaystyle V/U}$ è naturalmente isomorfo a ${\displaystyle W}$. Un importante esempio di spazio funzionale quoziente è lo spazio L^p.

In presenza di una somma diretta:

${\displaystyle V=U\oplus W}$

lo spazio quoziente ${\displaystyle V/U}$ è isomorfo in modo naturale a ${\displaystyle W}$. L'isomorfismo è dato da:

${\displaystyle v=u+w\mapsto w}$

dove un elemento ${\displaystyle v}$ di ${\displaystyle V}$ è scritto in un unico modo come ${\displaystyle u+w}$, con ${\displaystyle u,w}$ appartenenti rispettivamente a ${\displaystyle U,W}$.

Vale la successione esatta corta di spazi vettoriali:

${\displaystyle 0\to U\to V\to V/U\to 0}$

In particolare:

${\displaystyle \dim V/U=\dim V-\dim U}$

Se ${\displaystyle X}$ è uno spazio di Banach e ${\displaystyle M}$ un sottospazio chiuso di ${\displaystyle X}$, allora il quoziente ${\displaystyle X/M}$ è ancora uno spazio di Banach. Per definire una norma su ${\displaystyle X/M}$ si pone:

${\displaystyle \|[x]\|_{X/M}=\inf _{m\in M}\|x-m\|_{X}}$

Lo spazio vettoriale quoziente ${\displaystyle X/M}$ è dunque completo rispetto alla norma.

Sia ${\displaystyle C[0,1]}$ lo spazio di Banach delle funzioni continue a valori reali e definite sull'intervallo ${\displaystyle [0,1]}$, equipaggiato con la norma del sup. Sia ${\displaystyle M}$ il sottospazio delle funzioni tali che ${\displaystyle f(0)=0}$. Allora la classe di equivalenza di qualche funzione ${\displaystyle g}$ è determinata dal suo valore in ${\displaystyle 0}$, e lo spazio quoziente ${\displaystyle C[0,1]/M}$ è isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Se ${\displaystyle X}$ è uno spazio di Hilbert allora lo spazio quoziente ${\displaystyle X/M}$ è isomorfo al complemento ortogonale di ${\displaystyle M}$.

Lo spazio quoziente di uno spazio localmente convesso per un sottospazio chiuso è ancora localmente convesso. Infatti, si supponga ${\displaystyle X}$ uno spazio localmente convesso in cui la topologia è generata da una famiglia di seminorme ${\displaystyle \{p_{\alpha }:\alpha \in A\}}$, con ${\displaystyle A}$ un insieme di indici. Sia ${\displaystyle M}$ un sottospazio chiuso e si definiscano le seminorme ${\displaystyle q_{\alpha }}$ su ${\displaystyle X/M}$ nel seguente modo:

${\displaystyle q_{\alpha }([x])=\inf _{x\in [x]}p_{\alpha }(x)}$

Allora ${\displaystyle X/M}$ è localmente convesso e la topologia definita su di esso è la topologia quoziente. Se inoltre ${\displaystyle X}$ è metrizzabile allora lo è anche ${\displaystyle X/M}$. Se ${\displaystyle X}$ è uno spazio di Fréchet allora lo è anche ${\displaystyle X/M}$.

• (EN) Paul Halmos, Finite dimensional vector spaces, Springer, 1974, ISBN 978-0-387-90093-3.
• (EN) Jean Dieudonné, Treatise on analysis, Volume II, Academic Press, 1970.

• Gruppo quoziente
• Insieme quoziente
• Relazione d'equivalenza
• Somma diretta
• Sottospazio vettoriale
• Spazio localmente convesso
• Spazio di Banach
• Spazio vettoriale
• Topologia quoziente

• spazio vettoriale, quoziente di uno, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Spazio vettoriale quoziente, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) math.mcmaster.ca - Vector Space Quotients (PDF), su ms.mcmaster.ca. URL consultato il 20 febbraio 2014 (archiviato dall'url originale il 24 febbraio 2014).

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