Algebra di Lie risolubile

In matematica, un'algebra di Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ si dice risolubile se la sua serie derivata, definita come

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\geq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\geq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\geq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\geq ...}$

diviene 0 dopo un numero finito di passaggi.

Ogni algebra di Lie nilpotente è risolubile, ma il viceversa non è vero. L'ideale risolubile massimale è detto radicale.

Sia ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ un'algebra di Lie finito-dimensionale su un campo di caratteristica 0. Allora sono equivalenti:

1. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ è risolubile
2. ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})}$, la rappresentazione aggiunta di ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, è risolubile.
3. Esiste una successione finita di ideali ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$ di ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ tali che:

   ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{r}=0}$ dove ${\displaystyle [{\mathfrak {a}}_{i},{\mathfrak {a}}_{i}]\subset {\mathfrak {a}}_{i+1}}$ per ogni ${\displaystyle i}$.

4. ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ è nilpotente.

Il teorema di Lie afferma che se ${\displaystyle V}$ è uno spazio vettoriale finito-dimensionale su un campo algebricamente chiuso di caratteristica 0, e ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ è un'algebra di Lie risolubile su ${\displaystyle V}$, allora esiste una base di ${\displaystyle V}$ per la quale tutte le matrici degli elementi di ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ sono triangolari superiori.

• Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1972. ISBN 0-387-90053-5

• Criterio di Cartan

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