Utente:Mat4free/Étale morphism

In geometria algebrica, un morfismo étale (dal francese: calmo, immobile, qualcosa lasciato a stabilirsi.^[1] ) è un morfismo di schemi che è formalmente étale ed è localmente di presentazione finita. Un morfismo étale è l'analogo algebrico della nozione di isomorfismo locale nella topologia euclidea. I morfismi étale soddisfano le ipotesi del teorema della funzione implicita, ma poiché gli aperti nella topologia di Zariski sono grandi, tali morfismi non sono necessariamente isomorfismi locali. Nonostante ciò, i morfismi étale conservano molte delle proprietà degli isomorfismi analitici locali e sono utili per definire il gruppo fondamentale algebrico e la topologia étale.

Sia ${\displaystyle \phi \colon R\to S}$ un omomorfismo di anelli. Allora ${\displaystyle S}$ è una ${\displaystyle R}$-algebra. Sia ${\displaystyle f}$ un polinomio monico in ${\displaystyle R[x]}$ e ${\displaystyle g}$ un polinomio in ${\displaystyle R[x]}$ tale che la derivata ${\displaystyle f'}$ di ${\displaystyle f}$ è un'unità in ${\displaystyle (R[x]/fR[x])_{g}.}$ Si dice che ${\displaystyle \phi }$ è standard étale se ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ possono essere scelti in modo che ${\displaystyle S}$ sia isomorfo a ${\displaystyle (R[x]/fR[x])_{g}}$ come ${\displaystyle R}$-algebra e che ${\displaystyle \phi }$ sia la mappa canonica.

Sia ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ un morfismo di schemi. Si dice che ${\displaystyle f}$ è étale se e solo se soddisfa una delle seguenti proprietà equivalenti:

1. ${\displaystyle f}$ è piatto e non ramificato.^[2]
2. ${\displaystyle f}$ è liscio e non ramificato.
3. ${\displaystyle f}$ è piatto, localmente di presentazione finita e, per ogni ${\displaystyle y\in Y,}$ la fibra ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ è unione disgiunta di punti ciascuno dei quali è lo spettro di un'estensione di campo finita separabile del campo residuo ${\displaystyle \kappa (y).}$
4. ${\displaystyle f}$ è piatto, localmente di presentazione finita e per ogni ${\displaystyle y\in Y}$ e per ogni chiusura algebrica ${\displaystyle K}$ del campo residuo ${\displaystyle \kappa (y),}$ la fibra geometrica ${\displaystyle f^{-1}(y)\otimes _{\kappa (y)}K}$ è unione disgiunta di punti ciascuno dei quali isomorfo a ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,K.}$
5. ${\displaystyle f}$ è liscio di dimensione relativa zero.^[3]
6. ${\displaystyle f}$ è liscio e localmente quasi finito.^[4]
7. ${\displaystyle f}$ è localmente di presentazione finita ed è localmente étale standard, cioè:

   per ogni ${\displaystyle x\in X,}$ esiste un intorno aperto affine ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,R}$ di ${\displaystyle f(x)}$ e un intorno aperto affine ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,S}$ di ${\displaystyle x}$ tale che ${\displaystyle f(\mathrm {Spec} \,S)\subset \mathrm {Spec} \,R}$ e tale che l'omomorfismo di anelli ${\displaystyle R\to S}$ indotto da ${\displaystyle f}$ è standard étale.^[5]

8. ${\displaystyle f}$ è localmente di presentazione finita e formalmente étale.
9. ${\displaystyle f}$ è localmente di presentazione finita e formalmente étale per mappe da anelli locali, cioè:

   sia ${\displaystyle J}$ un ideale di un anello locale ${\displaystyle A}$ tale che ${\displaystyle J^{2}=0,}$ sia ${\displaystyle Z=\mathrm {Spec} \,A,}$ sia ${\displaystyle Z_{0}=\mathrm {Spec} \,(A/J)}$ con punto chiuso ${\displaystyle z_{0}}$ e con ${\displaystyle i\colon Z_{0}\to Z}$ l'immersione chiusa canonica e siano ${\displaystyle h\colon Z\to Y}$ e ${\displaystyle g_{0}\colon Z_{0}\to X}$ morfismi tali che ${\displaystyle f(g_{0}(z_{0}))=h(i(z_{0})),}$ allora esiste un unico ${\displaystyle Y}$-morfismo ${\displaystyle g\colon Z\to X}$ tale che ${\displaystyle gi=g_{0}.}$^[6]

Sia ${\displaystyle Y}$ localmente noetheriano e ${\displaystyle f}$ localmente di tipo finito. Dato ${\displaystyle x\in X,}$ sia ${\displaystyle y=f(x)}$ e sia ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}\to {\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$ la mappa indotta sugli anelli locali completati. Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:

1. ${\displaystyle f}$ è étale.
2. Per ogni ${\displaystyle x\in X,}$ la mappa indotta sugli anelli locali completati è formalmente étale per la topologia adica.^[7]
3. Per ogni ${\displaystyle x\in X,}$ il fascio ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$ è un ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}}$-modulo libero e la fibra ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}/m_{y}{\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$ è un campo che è un'estensione di finita separabile del campo residuo ${\displaystyle \kappa (y).}$ Qui ${\displaystyle m_{y}}$ è l'ideale massimale di ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}.}$
4. ${\displaystyle f}$ è formalmente étale per mappe di anelli locali tali che l'anello locale ${\displaystyle A,}$ con ideale massimale ${\displaystyle m,}$ è artiniano, ${\displaystyle mJ=0,}$ dove ${\displaystyle J}$ è un ideale di ${\displaystyle A}$ tale che ${\displaystyle J^{2}=0,}$ e il morfismo tra campi residui ${\displaystyle \kappa (y)\to A/m}$ è un isomorfismo.^[8]

Inoltre, se tutte le mappe sui campi residui ${\displaystyle \kappa (y)\to \kappa (x)}$ sono isomorfismi o se ${\displaystyle \kappa (y)}$ è separabilmente chiuso, allora ${\displaystyle f}$ è étale se e solo se per ogni ${\displaystyle x\in X}$ la mappa indotta sugli anelli locali completati è un isomorfismo.^[7]

• Ogni immersione aperta è étale perché è localmente un isomorfismo.
• I rivestimenti sono esempi di morfismi étale. Ad esempio, se ${\displaystyle d\geq 1}$ è un numero intero invertibile nell'anello ${\displaystyle R,}$ allora

${\displaystyle {\text{Spec}}(R[t,t^{-1},y]/(y^{d}-t))\to {\text{Spec}}(R[t,t^{-1}])}$

è un morfismo étale di grado ${\displaystyle d.}$

• Ogni rivestimento ramificato ${\displaystyle \pi \colon X\to Y}$ ha un luogo non ramificato

${\displaystyle \pi \colon X_{\text{un}}\to Y_{\text{un}}}$

che è étale.

• I morfismi del tipo

${\displaystyle \mathrm {Spec} (L)\to \mathrm {Spec} (K)}$

indotti da estensioni di campo finite separabili sono étale, essi formano rivestimenti aritmetici con gruppi di trasformazioni su ${\displaystyle \mathrm {Spec} (K)}$ dati da ${\displaystyle \mathrm {Gal} (L/K).}$

• Qualsiasi omomorfismo di anelli della forma ${\displaystyle R\to S=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]_{g}/(f_{1},\ldots ,f_{n}),}$ dove tutti gli ${\displaystyle f_{i}}$ sono polinomi e dove il determinante jacobiano ${\displaystyle \det(\partial f_{i}/\partial x_{j})}$ è un'unità in ${\displaystyle S,}$ è étale. Ad esempio il morfismo ${\displaystyle \mathbb {C} [t,t^{-1}]\to \mathbb {C} [x,t,t^{-1}]/(x^{n}-t)}$ è etale e corrisponde a un rivestimento di grado ${\displaystyle n}$ di ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}\in \mathrm {Sch} /\mathbb {C} }$ con il gruppo ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ delle trasformazioni su ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

• Estendendo l'esempio precedente, supponiamo di avere un morfismo ${\displaystyle f}$ di varietà algebriche complesse lisce. Poiché ${\displaystyle f}$ è dato da equazioni, possiamo interpretarlo come una mappa di varietà differenziabili complesse. Ogni volta che lo jacobiano di ${\displaystyle f}$ è diverso da zero, ${\displaystyle f}$ è un isomorfismo locale di varietà differenziabili complesse per il teorema della funzione implicita. Dall'esempio precedente, avere jacobiano diverso da zero equivale a essere étale.

• Sia ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ un morfismo dominante di tipo finito con ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ localmente noetheriani e irriducibili e con ${\displaystyle Y}$ normale. Se ${\displaystyle f}$ è non ramificato, allora è étale.^[9]

• Dato un campo ${\displaystyle K,}$ qualsiasi ${\displaystyle K}$-algebra ${\displaystyle A}$ è necessariamente piatta. Pertanto, ${\displaystyle A}$ è un'algebra étale se e solo se è non ramificata, il che è anche equivalente a

${\displaystyle A\otimes _{K}{\bar {K}}\cong {\bar {K}}\oplus \ldots \oplus {\bar {K}},}$

dove ${\displaystyle {\bar {K}}}$ è la chiusura separabile del campo ${\displaystyle K}$ e il membro di destra è una somma diretta finita di cui tutti gli addendi sono ${\displaystyle {\bar {K}}.}$ Questa caratterizzazione delle ${\displaystyle K}$-algebre étale è un passo fondamentale verso la reinterpretazione della teoria classica di Galois.

• I morfismi étale sono preservati dalla composizione e dal cambiamento di base.
• I morfismi étale sono locali nel dominio e nel codominio. In altre parole, ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ è étale se e solo se per ogni ricoprimento di ${\displaystyle X}$ di sottoschemi aperti, la restrizione di ${\displaystyle f}$ a ciascuno dei sottoschemi aperti del ricoprimento è étale; e anche se e solo se per ogni ricoprimento di ${\displaystyle Y}$ di sottoschemi aperti, i morfismi indotti ${\displaystyle f_{(U)}\colon X\times _{Y}U\to U}$ sono étale per ogni sottoschema ${\displaystyle U}$ del ricoprimento. In particolare è possibile verificare la proprietà di essere étale su aperti affini ${\displaystyle V=\operatorname {Spec} (B)\to U=\operatorname {Spec} (A).}$
• Il prodotto di una famiglia finita di morfismi étale è étale.
• Data una famiglia finita di morfismi ${\displaystyle \{f_{\alpha }\colon X_{\alpha }\to Y\},}$ l'unione disgiunta ${\displaystyle \coprod f_{\alpha }\colon \coprod X_{\alpha }\to Y}$ è étale se e solo se ogni ${\displaystyle f_{\alpha }}$ è étale.
• Dati ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ e ${\displaystyle g\colon Y\to Z,}$ se ${\displaystyle g}$ è non ramificato e ${\displaystyle gf}$ è étale, allora ${\displaystyle f}$ è étale. In particolare, se ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle X'}$ sono étale su ${\displaystyle Y,}$ allora ogni ${\displaystyle Y}$-morfismo tra ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle X'}$ è étale.
• I morfismi étale quasi compatti sono quasi finiti.
• Un morfismo ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ è un'immersione aperta se e solo se è etale e radiciale.^[10]
• Se ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ è étale e suriettivo, allora ${\displaystyle \dim X=\dim Y}$ (finito o meno).

I morfismi étale ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ sono la controparte algebrica dei diffeomorfismi locali. Più precisamente, un morfismo tra varietà lisce è étale in un punto se e solo se il differenziale tra i corrispondenti spazi tangenti è un isomorfismo. Questa è a sua volta precisamente la condizione necessaria per assicurare che una mappa tra varietà sia un diffeomorfismo locale, ossia per ogni punto ${\displaystyle y\in Y,}$ esiste un intorno aperto ${\displaystyle U}$ di ${\displaystyle x}$ tale che la restrizione di ${\displaystyle f}$ a ${\displaystyle U}$ sia un diffeomorfismo. Questa conclusione non vale nella geometria algebrica, perché la topologia è troppo grossolana. Si consideri ad esempio la proiezione ${\displaystyle f}$ della parabola ${\displaystyle y=x^{2}}$ sull'asse ${\displaystyle y.}$ Questo morfismo è étale in ogni punto tranne che nell'origine ${\displaystyle (0,0),}$ perché il differenziale è dato da ${\displaystyle 2x,}$ che non si annulla in questi punti. Tuttavia non esiste un inverso (Zariski-)locale di ${\displaystyle f}$ perché la radice quadrata non è un morfismo algebrico, non essendo data dai polinomi. Ma, considerando la topologia étale, esiste una soluzione a questo problema. Il risultato preciso è il seguente: se ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ è finito étale, allora per ogni punto ${\displaystyle y\in Y}$ esiste un morfismo étale ${\displaystyle V\to Y}$ che contiene ${\displaystyle y}$ nella sua immagine (${\displaystyle V}$ può essere pensato come un intorno aperto étale di ${\displaystyle y}$), tale che ${\displaystyle X\times _{Y}V\to V}$ è unione disgiunta finita di sottoinsiemi aperti isomorfi a ${\displaystyle V}$ (l'insieme ${\displaystyle X\times _{Y}V}$ sarebbe la controimmagine di ${\displaystyle V}$ rispetto a ${\displaystyle f}$ se ${\displaystyle V}$ fosse un intorno aperto di Zariski). In altre parole, étale-localmente in ${\displaystyle Y,}$ il morfismo ${\displaystyle f}$ è un rivestimento topologico finito.

Per un morfismo liscio ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ di dimensione relativa ${\displaystyle n,}$ étale-localmente in ${\displaystyle X}$ e in ${\displaystyle Y,}$ il morfismo ${\displaystyle f}$ è un'immersione aperta in uno spazio affine ${\displaystyle \mathbb {A} _{Y}^{n}.}$ Questa è la versione étale del teorema di struttura delle summersioni.

• 1977, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157. Parametro titolo vuoto o mancante (aiuto)978-0-387-90244-9
• vol. 20, 1964, DOI:10.1007/bf02684747, http://www.numdam.org:80/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1964__20_. Parametro titolo vuoto o mancante (aiuto)
• vol. 20, 1964, DOI:10.1007/bf02684747, http://www.numdam.org:80/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1964__20_. Parametro titolo vuoto o mancante (aiuto)
• vol. 32, 1967, DOI:10.1007/BF02732123, http://www.numdam.org:80/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1967__32_. Parametro titolo vuoto o mancante (aiuto)
• 2003, ISBN 978-2-85629-141-2, arXiv:math.AG/0206203. Parametro titolo vuoto o mancante (aiuto)978-2-85629-141-2
• J. S. Milne, 1980, ISBN 0-691-08238-3, https://archive.org/details/etalecohomology00miln. Parametro titolo vuoto o mancante (aiuto)0-691-08238-3
• JS Milne (2008). Lezioni sulla Coomologia Etale

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