Teorema di Hahn-Kolmogorov

In teoria della misura, il teorema di Hahn-Kolmogorov stabilisce che data un'algebra di sottoinsiemi di un insieme X, ed una funzione a valori reali non negativi, nulla sul vuoto, e numerabilmente additiva (nel senso che se l'unione di una famiglia numerabile appartiene ancora all'algebra allora per questa famiglia vale la σ-additività), esiste un'unica misura che la estende alla σ-algebra generata dall'algebra di partenza.

Il primo a dimostrare il teorema fu Fréchet^[1], ma la sua dimostrazione non usava il teorema di Carathéodory. La dimostrazione più moderna, qui riportata, è stata scoperta indipendentemente da Hahn^[2] e Kolmogorov^[3]. Per questo motivo il teorema si può trovare in letteratura sotto il nome di Hahn (da non confondere col teorema di decomposizione di Hahn) o Hahn-Kolmogorov. Spesso, comunque, non viene neanche assegnato un nome, o lo si chiama semplicemente teorema di estensione.

Sia ${\displaystyle \mathbf {A} }$ un'algebra di sottoinsiemi di ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle \mu _{0}:\mathbf {A} \to [0,\infty ]}$ una funzione σ-additiva, nel senso che se ${\displaystyle \{A_{i}\}}$ è una famiglia numerabile di elementi disgiunti di ${\displaystyle \mathbf {A} }$ e l'unione di tutti gli ${\displaystyle A_{i}}$ sta in ${\displaystyle \mathbf {A} }$ allora:

${\displaystyle \mu _{0}\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{i})}$

e tale che ${\displaystyle \mu _{0}(\emptyset )=0}$ (si dice che ${\displaystyle \mu _{0}}$ è una premisura, o semplicemente misura se non c'è pericolo di confusione).

Indicata con ${\displaystyle M(\mathbf {A} )}$ la σ-algebra generata da ${\displaystyle \mathbf {A} }$, esiste una misura ${\displaystyle \mu }$ su ${\displaystyle M(\mathbf {A} )}$ che estende ${\displaystyle \mu _{0}}$, cioè tale che ristretta ad ${\displaystyle \mathbf {A} }$ è uguale a ${\displaystyle \mu _{0}}$.

Se ${\displaystyle \mu _{0}}$ è sigma-finita, cioè esiste una famiglia numerabile ${\displaystyle \{A_{i}\}\subset \mathbf {A} }$ che ricopre ${\displaystyle X}$, con ${\displaystyle \mu _{0}(A_{i})<\infty }$ per ogni ${\displaystyle i}$, allora l'estensione è unica.

La dimostrazione si divide in due parti. Nella prima si dimostra l'esistenza costruendo una misura esterna in modo da poter usare il teorema di Carathéodory, e poi si verifica che la misura esterna ristretta ad ${\displaystyle \mathbf {A} }$ è uguale a ${\displaystyle \mu _{0}}$ e che gli elementi di ${\displaystyle \mathbf {A} }$ sono misurabili. La seconda parte si occupa invece dell'unicità nel caso in cui ${\displaystyle \mu _{0}}$ è σ-finita nel senso indicato nell'enunciato.

La funzione ${\displaystyle \mu ^{*}:P(X)\to [0,\infty ]}$ costruita a partire da ${\displaystyle \mu _{0}}$ è definita come:

${\displaystyle \mu ^{*}(E):=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{i}):\ \{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }\subset \mathbf {A} ,\ E\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right\}}$

e gode delle tre proprietà di una misura esterna (monotonia, subadditività numerabile, assegna 0 al vuoto). Il teorema di Carathéodory fornisce allora uno spazio di misura completo ${\displaystyle (X,\mathbf {M} ,\mu )}$, dove:

${\displaystyle \mathbf {M} :=\{B\subset X:\ \mu ^{*}(E)=\mu ^{*}(E\cap B)+\mu ^{*}(E\cap B^{c})\ \forall E\subset X\}}$

è una σ-algebra e ${\displaystyle \mu }$ è la restrizione di ${\displaystyle \mu ^{*}}$ a ${\displaystyle \mathbf {M} }$.

Si vuole dimostrare che per ogni ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle \mathbf {A} }$ vale:

${\displaystyle \mu _{0}(A)=\mu ^{*}(A):=\inf \sum \mu _{0}(A_{i})}$

dove l'inf è preso su tutte le famiglie numerabili ${\displaystyle \{A_{i}\}\subset \mathbf {A} }$ che ricoprono ${\displaystyle A}$. In particolare, prendendo la famiglia ${\displaystyle \{A,\emptyset ,\emptyset ,\dots \}}$ si ha subito:

${\displaystyle \mu ^{*}(A)\leq \mu _{0}(A)}$

Sia ${\displaystyle \{A_{i}\}\subset \mathbf {A} }$ una famiglia che ricopre ${\displaystyle A}$. L'idea per ottenere l'altra disuguaglianza è che se si prende la famiglia disgiunta associata ${\displaystyle \{A_{i}\}}$ si può spezzare ${\displaystyle \mu _{0}(A)}$ sfruttando la σ-additività (sempre nel senso indicato nell'enunciato) di ${\displaystyle \mu _{0}}$, da lì in poi si tratta di sfruttare semplici maggiorazioni. Si ricorda che ad ogni famiglia ${\displaystyle \{A_{i}\}}$ è associata una famiglia ${\displaystyle \{B_{i}\}}$ di insiemi a coppie disgiunti tale che l'unione dei primi n ${\displaystyle A_{i}}$ è uguale a quella dei primi n ${\displaystyle B_{i}}$, questo per tutti gli n naturali. Tale famiglia si ottiene ponendo ${\displaystyle B_{i}\equiv A_{i}-(A_{i-1}\cup \dots \cup A_{1})}$. Per quanto detto l'unione di tutti i ${\displaystyle B_{i}}$ contiene ${\displaystyle A}$, quindi:

${\displaystyle \mu _{0}(A)=\mu _{0}\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }(A\cap B_{i})\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A\cap B_{i})\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(B_{i})\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{i})}$

dove le diseguaglianze seguono dalla monotonia di ${\displaystyle \mu _{0}}$. Ora, questo vale per qualsiasi ${\displaystyle \{A_{i}\}\subset \mathbf {A} }$ che ricopre ${\displaystyle A}$, quindi:

${\displaystyle \mu _{0}(A)\leq \mu ^{*}(A)}$

Dimostrare che ${\displaystyle A\in \mathbf {A} }$ sta in ${\displaystyle \mathbf {M} }$ significa dimostrare che:

${\displaystyle \ \mu ^{*}(E)=\mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\cap A^{c})}$

qualsiasi sia ${\displaystyle E\subset X}$. Per farlo si approssima ${\displaystyle \mu ^{*}(E)}$ usando una famiglia ${\displaystyle \{A_{i}\}\subset \mathbf {A} }$ che copre ${\displaystyle E}$, poi con ${\displaystyle A}$ si spezza l'approssimazione invece che ${\displaystyle E}$, così da poter usare l'additività di ${\displaystyle \mu _{0}}$. Nel dettaglio, per ogni ${\displaystyle \epsilon >0}$ esiste una famiglia ${\displaystyle \{A_{i}\}}$ che copre ${\displaystyle E}$ e tale che:

${\displaystyle \mu ^{*}(E)+\epsilon \geq \sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{i}\cap A)+\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{i}\cap A^{c})\geq \mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\cap A^{c})}$

dove l'uguaglianza si ottiene scrivendo ${\displaystyle A_{i}}$ come ${\displaystyle (A_{i}\cap A)\cup (A_{i}\cap A^{c})}$ e usando l'additività di ${\displaystyle \mu _{0}}$, mentre la seconda disuguaglianza si ottiene notando che ${\displaystyle \{A_{i}\cap A\}}$ è un ricoprimento di ${\displaystyle E\cap A}$, e analogamente per ${\displaystyle E\cap A^{c}}$. Si nota che essendo ${\displaystyle \epsilon }$ arbitrario:

${\displaystyle \mu ^{*}(E)\geq \mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\cap A^{c})}$

L'altra disuguaglianza è regalata dalla subadditività di ${\displaystyle \mu ^{*}}$:

${\displaystyle \mu ^{*}(E)=\mu ^{*}((E\cap A)\cup (E\cap A^{c}))\leq \mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\cap A^{c})}$

Ricapitolando, partendo da ${\displaystyle \mu _{0}}$ si è costruita una misura esterna ${\displaystyle \mu ^{*}}$ che ristretta alla σ-algebra ${\displaystyle \mathbf {M} }$ è una misura ${\displaystyle \mu }$. Si è dimostrato che l'algebra ${\displaystyle \mathbf {A} }$ è contenuta in ${\displaystyle \mathbf {M} }$ e che ${\displaystyle \mu }$ sugli elementi di ${\displaystyle \mathbf {A} }$ si comporta come la premisura ${\displaystyle \mu _{0}}$ da cui si era partiti. Per concludere la prima parte del teorema si nota che essendo ${\displaystyle M(\mathbf {A} )}$ la più piccola σ-algebra contenente ${\displaystyle \mathbf {A} }$, ed ${\displaystyle \mathbf {A} \subset \mathbf {M} }$, si ha ${\displaystyle M(\mathbf {A} )\subset \mathbf {M} }$. Se con abuso di notazione si continua a denotare con ${\displaystyle \mu }$ la misura su ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ristretta ad ${\displaystyle M(\mathbf {A} )}$, lo spazio di misura ${\displaystyle (X,M(\mathbf {A} ),\mu )}$ è, per quanto detto, quello cercato.

In generale, mentre ${\displaystyle (X,M,\mu )}$ è completo (fa parte della tesi del teorema di Carathéodory), lo spazio ${\displaystyle (X,M(\mathbf {A} ),\mu )}$ può benissimo non esserlo (un esempio noto si ha quando ${\displaystyle M(\mathbf {A} )}$ è la σ-algebra dei boreliani di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ e ${\displaystyle \mu }$ è la misura di Lebesgue).

In questa parte si suppone che ${\displaystyle \mu _{0}}$ sia σ-finita nel senso indicato nell'enunciato. Sia ${\displaystyle \nu }$ una misura su ${\displaystyle M(\mathbf {A} )}$ che estende ${\displaystyle \mu _{0}}$, mentre si continua ad indicare con ${\displaystyle \mu }$ la misura, sempre su ${\displaystyle M(\mathbf {A} )}$, costruita sopra. Per dimostrare che sono uguali si comincia usando la σ-finitezza per restringersi a lavorare in uno spazio di misura finita. Sia ${\displaystyle \{A_{i}\}\subset \mathbf {A} }$ una famiglia di insiemi di misura finita la cui unione è ${\displaystyle X}$. Si può supporre che gli ${\displaystyle A_{i}}$ siano a coppie disgiunti (al limite basta prendere la famiglia ${\displaystyle \{B_{i}\}}$ con ${\displaystyle B_{i}\equiv A_{i}-(A_{i-1}\cup \dots \cup A_{1})}$ al posto di ${\displaystyle {A_{i}}}$ ). Le due misure danno lo stesso valore ad un insieme misurabile ${\displaystyle A}$ se e solo se concordano su tutte le intersezioni ${\displaystyle A\cap A_{i}}$, perché in questo caso sarebbe:

${\displaystyle \mu (A)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A\cap A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\nu (A\cap A_{i})=\nu (A)}$

Ci si è ridotti a dover dimostrare che se ${\displaystyle B\in \mathbf {A} }$ ha misura finita e ${\displaystyle A\in M(\mathbf {A} )}$ è contenuto in ${\displaystyle B}$, allora ${\displaystyle \mu (A)=\nu (A)}$. Per confrontare le due misure, si consideri una famiglia ${\displaystyle \{C_{i}\}\subset \mathbf {A} }$ che ricopre ${\displaystyle A}$. Si ha:

${\displaystyle A\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }C_{i}}$

da cui:

${\displaystyle \nu (A)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\nu (C_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(C_{i})}$

e quindi ${\displaystyle \nu (A)\leq \mu (A)}$ perché la disuguaglianza vale per tutte le famiglie ${\displaystyle \{C_{i}\}\subset \mathbf {A} }$ che coprono ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle \mu (A)}$ è l'inf dei termini di destra. Ma vale anche ${\displaystyle \nu (B-A)\leq \mu (B-A)}$. Ricordando che ${\displaystyle B}$ sta in ${\displaystyle \mathbf {A} }$ e spezzandolo come ${\displaystyle (B-A)\cup A}$ si conclude:

${\displaystyle \mu (B)=\nu (B)=\nu (B-A)+\nu (A)\leq \nu (B-A)+\mu (A)\leq \mu (B)}$

cioè:

${\displaystyle \nu (B-A)+\nu (A)=\nu (B-A)+\mu (A)}$

da cui:

${\displaystyle \nu (A)=\mu (A)}$

• (EN) Vladimir Bogachev, Measure theory, volume 1, Springer, 2006, ISBN 3-540-34513-2.
• (EN) Gerald Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Wiley-Interscience, 1999, ISBN 0-471-31716-0.
• (EN) Serge Lang, Real and Functional Analysis, Springer, 1993, ISBN 0-387-94001-4.

• Algebra di insiemi
• Misura (matematica)
• Misura esterna
• Teorema di Carathéodory (teoria della misura)

• (EN) Hahn-Kolmogorov theorem, in PlanetMath.

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