Tavola dei gruppi di Lie

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Questo articolo presenta una tavola di alcuni dei più comuni gruppi di Lie, ciascuno con la sua algebra di Lie associata.

Sono fornite le proprietà topologiche del gruppo (dimensione, connessione, compattezza, natura del gruppo fondamentale e il fatto che sia semplicemente connesso o meno) insieme alle loro proprietà algebriche (se si tratti di gruppo abeliano, di gruppo semplice, di gruppo semisemplice).

Per ulteriori esempi di gruppi di Lie e per altri argomenti collegati si veda anche l'elenco degli articoli sui gruppi di Lie.

Gruppi di Lie reali e loro algebre

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Gruppo di Lie	Descrizione	Osservazioni	algebra di Lie	Descrizione	dim/R
Rⁿ	Spazio euclideo munito della somma	abeliano, semplicemente connesso, non compatto	Rⁿ	le parentesi di Lie danno zero	n
R^×	Numeri reali muniti della moltiplicazione	abeliano, non connesso, non compatto	R	le parentesi di Lie danno zero	1
R⁺	Numeri reali positivi muniti della somma	abeliano, semplicemente connesso, non compatto	R	le parentesi di Lie danno zero	1
S¹	gruppo circolare: numeri complessi di valore assoluto 1 muniti della moltiplicazione; noto anche come U(1).	abeliano, connesso, non semplicemente connesso, compatto; isomorfo a SO(2) e R/Z.	R	le parentesi di Lie danno zero	1
H^×	quaternioni non nulli muniti della moltiplicazione	semplicemente connesso, non compatto	H	quaternioni, con le parentesi di Lie come commutatore	4
S³	quaternioni aventi valore assoluto 1, muniti della moltiplicazione; noto anche come Sp(1); topologicamente una 3-sfera	semplicemente connesso, compatto, semplice e semisemplice; isomorfo a SU(2) ed a Spin(3)	Im(H)	quaternioni con parte reale nulla, con le parentesi di Lie come commutatore; isomorfo a 3-vettori reali, con le parentesi di Lie come prodotto vettoriale; anche isomorfo a su(2) e a so(3)	3
GL(n,R)	Gruppo lineare generale: matrice invertibile reale n×n	non connesso, non compatto	M(n,R)	matrici n×n, con le parentesi di Lie come commutatore	n²
GL⁺(n,R)	matrici reali n×n di determinante positivo	connesso, non compatto, per n≥2: non semplicemente connesso	M(n,R)	matrici n×n con le parentesi di Lie come commutatore	n²
SL(n,R)	Gruppo lineare speciale: matrici reali di determinante 1	connesso, pern≥2: non semplicemente connesso, non compatto	sl(n,R)	matrici quadrate di traccia 0, con parentesi di Lie come commutatori	n²−1
O(n)	gruppo ortogonale: matrici ortogonali reali	non connesso, compatto	so(n)	matrici antisimmetriche reali quadrate, con parentesi di Lie come commutatore	n(n−1)/2
SO(n)	gruppo ortogonale speciale: matrici ortogonali reali di determinante 1	connesso, compatto, per n ≥ 2: non semplicemente connesso, per n = 3 e n≥5: semplice e semisemplice	so(n)	matrici antisimmetriche quadrate reali, con parentesi di Lie come commutatore	n(n−1)/2
Spin(n)	gruppo di spin: rivestimento doppio di SO(n)	compatto, per n≥2: connesso, per n≥3: semplicemente connesso	so(n)	matrici antisimmetriche reali quadrate, con parentesi di Lie come commutatore	n(n−1)/2
Sp(2n,R)	gruppo simplettico: matrici simplettiche reali	connesso, non semplicemente connesso, non compatto, semplice e semisemplice	sp(2n,R)	matrici reali che soddisfano JA + A^TJ = 0 dove J è la matrice antisimmetrica standard	n(2n+1)
Sp(n)	gruppo simplettico compatto: matrici unitarie quaternioniche n×n	compatto, semplicemente connesso, semplice e semisemplice	sp(n)	matrici quaternioniche quadrate A che soddisfano A = −A^*, con parentesi di Lie come commutatore	n(2n+1)
U(n)	gruppo unitario: matrici unitarie complesse n×n	connesso, non semplicemente connesso, compatto. Per n=1: sono isomorfe a S¹. Nota: questo non è un gruppo dell'algebra complessa di Lie	u(n)	matrici complesse quadrate A che soddisfano A = −A^*, con parentesi di Lie come commutatore	n²
SU(n)	gruppo unitario speciale: matrici unitarie complesse n×n di determinante 1	semplicemente connesso, compatto, per n > 2: semplice e semisemplice. Note: questo non è un gruppo dell'algebra complessa di Lie	su(n)	matrici quadrate complesse A con traccia 0, che soddisfano A = −A^*, con parentesi di Lie come commutatore	n²−1

Gruppi di Lie complessi e loro algebre

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Sono date le dimensioni sopra C. Si noti che ogni gruppo o algebra di Lie di dimensioni n sui complessi può essere considerato come un gruppo o algebra di Lie sui reali di dimensione 2n.

Gruppo di Lie	Descrizione	Osservazioni	Algebra di Lie	Descrizione	dim/C
Cⁿ	l'operazione di gruppo è l'addizione	abeliano, semplicemente connesso, non compatto	Cⁿ	le parentesi di Lie danno zero	n
C^×	nonzero numeri complessi con moltiplicazione	abeliano, non semplicemente connesso, non compatto	C	le parentesi di Lie danno zero	1
GL(n,C)	gruppo lineare generale: invertibile n×n matrici complesse	connesso, non semplicemente connesso, non compatto. For n=1: isomorfo a C^×	M(n,C)	n×n matrici, con parentesi di Lie come commutatore	n²
SL(n,C)	gruppo lineare speciale: matrici complesse con determinante 1	semplicemente connesso, per n≥2: non compatto, semplice e semisemplice.	sl(n,C)	matrici quadrate con traccia 0, con parentesi di Lie come commutatore	n²−1
O(n,C)	gruppo ortogonale: matrici ortogonali complesse	non connesso, per n≥2: non compatto	so(n,C)	matrici complesse quadrate antisimmetriche, con parentesi di Lie come commutatore	n(n−1)/2
SO(n,C)	gruppo ortogonale speciale: matrici complesse ortogonali di determinante 1	connesso, per n≥2: non semplicemente connesso, non compatto; per n=3 e n≥5: semplice e semisemplice	so(n,C)	matrici complesse quadrate antisimmetriche, con parentesi di Lie come commutatore	n(n−1)/2
Sp(2n,C)	gruppo simplettico: matrici simplettiche complesse	semplicemente connesso, non compatto, semplice e semisemplice	sp(2n,C)	matrici complesse che soddisfano JA + A^TJ = 0 dove J è la matrice antisimmetrica standard	n(2n+1)