In trigonometria , le formule di prostaferesi permettono di trasformare somme e differenze di funzioni trigonometriche di due angoli in un prodotto di funzioni trigonometriche.
La parola prostaferesi deriva dalla giustapposizione di due parole greche, prosthesis (πρόσθεσις) e aphairesis (ἀφαίρεσις), che significano rispettivamente "somma " e "sottrazione ".
Le formule di prostaferesi furono definite, nella forma attualmente nota, da Johann Werner agli inizi del XVI secolo, tuttavia è probabile che, almeno in parte, fossero già note in precedenza.[ 1]
Questa categoria di formule trigonometriche viene utilizzata poiché, in genere, conduce a una semplificazione dell'espressione trigonometrica studiata. Sono in particolare utili nella descrizione dei battimenti .
Le formule inverse delle formule di prostaferesi si chiamano formule di Werner , su cui si basa l'algoritmo di prostaferesi .
sin
α
+
sin
β
=
2
sin
α
+
β
2
cos
α
−
β
2
{\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta =2\,\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}
Dimostrazione
La formula di partenza può essere riscritta come:
sin
(
α
+
β
2
+
α
−
β
2
)
+
sin
(
β
+
α
2
+
β
−
α
2
)
{\displaystyle \sin \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}+{\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)+\sin \left({\frac {\beta +\alpha }{2}}+{\frac {\beta -\alpha }{2}}\right)}
Da cui, utilizzando la formula di addizione per il seno , si ottiene:
sin
α
+
β
2
cos
α
−
β
2
+
cos
α
+
β
2
sin
α
−
β
2
+
sin
β
+
α
2
cos
β
−
α
2
+
cos
β
+
α
2
sin
β
−
α
2
{\displaystyle \sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta -\alpha }{2}}+\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta -\alpha }{2}}}
Da cui, utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene:
sin
α
+
β
2
cos
α
−
β
2
+
cos
α
+
β
2
sin
α
−
β
2
+
sin
β
+
α
2
cos
α
−
β
2
−
cos
β
+
α
2
sin
α
−
β
2
{\displaystyle \sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}
Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene:
2
sin
α
+
β
2
cos
α
−
β
2
{\displaystyle 2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}
sin
α
−
sin
β
=
2
cos
α
+
β
2
sin
α
−
β
2
{\displaystyle \sin \alpha -\sin \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}
Dimostrazione
Si tratta in effetti della Prima formula calcolata cambiando il segno del secondo angolo. La formula di partenza può essere riscritta come:
sin
(
α
+
β
2
+
α
−
β
2
)
−
sin
(
β
+
α
2
+
β
−
α
2
)
{\displaystyle \sin \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}+{\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)-\sin \left({\frac {\beta +\alpha }{2}}+{\frac {\beta -\alpha }{2}}\right)}
Da cui, utilizzando la formula di addizione per il seno , si ottiene:
sin
α
+
β
2
cos
α
−
β
2
+
cos
α
+
β
2
sin
α
−
β
2
−
sin
β
+
α
2
cos
β
−
α
2
−
cos
β
+
α
2
sin
β
−
α
2
{\displaystyle \sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta -\alpha }{2}}-\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta -\alpha }{2}}}
Da cui, utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene:
sin
α
+
β
2
cos
α
−
β
2
+
cos
α
+
β
2
sin
α
−
β
2
−
sin
β
+
α
2
cos
α
−
β
2
+
cos
β
+
α
2
sin
α
−
β
2
{\displaystyle \sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}
Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene:
2
sin
α
−
β
2
cos
α
+
β
2
{\displaystyle 2\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}}
cos
α
+
cos
β
=
2
cos
α
+
β
2
cos
α
−
β
2
{\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}
Dimostrazione
La formula di partenza può essere riscritta come:
cos
(
α
+
β
2
+
α
−
β
2
)
+
cos
(
β
+
α
2
+
β
−
α
2
)
{\displaystyle \cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}+{\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)+\cos \left({\frac {\beta +\alpha }{2}}+{\frac {\beta -\alpha }{2}}\right)}
Da cui, utilizzando la formula di addizione per il coseno , si ottiene:
cos
α
+
β
2
cos
α
−
β
2
−
sin
α
+
β
2
sin
α
−
β
2
+
cos
β
+
α
2
cos
β
−
α
2
−
sin
β
+
α
2
sin
β
−
α
2
{\displaystyle \cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta -\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta -\alpha }{2}}}
Da cui, utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene:
cos
α
+
β
2
cos
α
−
β
2
−
sin
α
+
β
2
sin
α
−
β
2
+
cos
β
+
α
2
cos
α
−
β
2
+
sin
β
+
α
2
sin
α
−
β
2
{\displaystyle \cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}
Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene:
2
cos
α
+
β
2
cos
α
−
β
2
{\displaystyle 2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}
cos
α
−
cos
β
=
−
2
sin
α
+
β
2
sin
α
−
β
2
{\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\,\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\,\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}
Dimostrazione
La formula di partenza può essere riscritta come:
cos
(
α
+
β
2
+
α
−
β
2
)
−
cos
(
β
+
α
2
+
β
−
α
2
)
{\displaystyle \cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}+{\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)-\cos \left({\frac {\beta +\alpha }{2}}+{\frac {\beta -\alpha }{2}}\right)}
Da cui, utilizzando la formula di addizione per il coseno , si ottiene:
cos
α
+
β
2
cos
α
−
β
2
−
sin
α
+
β
2
sin
α
−
β
2
−
cos
β
+
α
2
cos
β
−
α
2
+
sin
β
+
α
2
sin
β
−
α
2
{\displaystyle \cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\,\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta -\alpha }{2}}+\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta -\alpha }{2}}}
Da cui, utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene:
cos
α
+
β
2
cos
α
−
β
2
−
sin
α
+
β
2
sin
α
−
β
2
−
cos
β
+
α
2
cos
α
−
β
2
−
sin
β
+
α
2
sin
α
−
β
2
{\displaystyle \cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}
Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene:
−
2
sin
α
+
β
2
sin
α
−
β
2
{\displaystyle -2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}
tan
α
±
tan
β
=
sin
(
α
±
β
)
cos
α
cos
β
c
o
n
α
,
β
≠
(
2
k
+
1
)
π
2
;
k
∈
Z
{\displaystyle \tan \alpha \pm \tan \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}\qquad \mathrm {con} \ \alpha ,\beta \neq (2k+1){\frac {\pi }{2}};k\in \mathbb {Z} }
Dimostrazione
La formula di partenza può essere riscritta, in virtù della definizione di tangente , come:
sin
α
cos
α
±
sin
β
cos
β
{\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}\pm {\frac {\sin \beta }{\cos \beta }}}
Da cui, giacché la condizione sugli angoli garantisce che i coseni non siano nulli:
sin
α
cos
β
cos
α
cos
β
±
sin
β
cos
α
cos
β
cos
α
{\displaystyle {\frac {\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}\pm {\frac {\sin \beta \cos \alpha }{\cos \beta \cos \alpha }}}
Da cui, raccogliendo il denominatore :
sin
α
cos
β
±
sin
β
cos
α
cos
α
cos
β
{\displaystyle {\frac {\sin \alpha \cos \beta \pm \sin \beta \cos \alpha }{\cos \alpha \cos \beta }}}
Da cui, giacché il numeratore è il risultato delle formule di addizione e sottrazione per il seno , si ottiene per sostituzione:
sin
(
α
±
β
)
cos
α
cos
β
{\displaystyle {\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}}
cot
α
±
cot
β
=
sin
(
β
±
α
)
sin
α
sin
β
c
o
n
α
,
β
≠
k
π
;
k
∈
Z
{\displaystyle \cot \alpha \pm \cot \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \,\sin \beta }}\qquad \mathrm {con} \ \alpha ,\beta \neq k\pi ;k\in \mathbb {Z} }
Dimostrazione
La formula di partenza può essere riscritta, in virtù della definizione di cotangente , come:
cos
α
sin
α
±
cos
β
sin
β
{\displaystyle {\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\pm {\frac {\cos \beta }{\sin \beta }}}
Da cui, giacché la condizione sugli angoli garantisce che i seni non siano nulli:
cos
α
sin
β
sin
α
sin
β
±
cos
β
sin
α
sin
β
sin
α
{\displaystyle {\frac {\cos \alpha \,\sin \beta }{\sin \alpha \,\sin \beta }}\pm {\frac {\cos \beta \,\sin \alpha }{\sin \beta \,\sin \alpha }}}
Da cui, raccogliendo il denominatore :
cos
α
sin
β
±
cos
β
sin
α
sin
α
sin
β
{\displaystyle {\frac {\cos \alpha \,\sin \beta \pm \cos \beta \,\sin \alpha }{\sin \alpha \,\sin \beta }}}
Da cui, giacché il numeratore è il risultato delle formule di addizione e sottrazione per il seno , si ottiene per sostituzione:
sin
(
β
±
α
)
sin
α
sin
β
{\displaystyle {\frac {\sin \left(\beta \pm \alpha \right)}{\sin \alpha \,\sin \beta }}}
Tutte le formule di prostaferesi possono essere derivate algebricamente ricordando che per l'esponenziale complesso è valida la formula di Eulero . Se
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
parte reale o immaginaria di un numero complesso , le formule di prostaferesi possono essere espresse come
P
(
e
i
a
±
e
i
b
)
=
P
(
e
i
a
2
e
i
b
2
(
e
i
a
−
b
2
±
e
−
i
a
−
b
2
)
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(e^{ia}\pm e^{ib})={\mathcal {P}}(e^{i{\frac {a}{2}}}e^{i{\frac {b}{2}}}(e^{i{\frac {a-b}{2}}}\pm e^{-i{\frac {a-b}{2}}}))}
=
P
(
e
i
a
+
b
2
(
e
i
a
−
b
2
±
e
−
i
a
−
b
2
)
)
{\displaystyle ={\mathcal {P}}(e^{i{\frac {a+b}{2}}}(e^{i{\frac {a-b}{2}}}\pm e^{-i{\frac {a-b}{2}}}))}
In altre parole, data la somma di due numeri complessi di modulo unitario (in forma polare ), raccogliamo il numero complesso di argomento pari a metà angolo del primo e quello di argomento pari a metà angolo del secondo. Esprimiamo così la somma dei due numeri complessi come un (opportuno) prodotto di un numero complesso per un numero (
e
i
a
−
b
2
±
e
−
i
a
−
b
2
{\displaystyle e^{i{\frac {a-b}{2}}}\pm e^{-i{\frac {a-b}{2}}}}
Ricordiamo che
ℜ
(
e
i
α
)
=
e
i
α
+
e
−
i
α
2
=
cos
(
α
)
{\displaystyle \Re (e^{i\alpha })={\frac {e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }}{2}}=\cos(\alpha )}
ℑ
(
e
i
α
)
=
e
i
α
−
e
−
i
α
2
i
=
sin
(
α
)
{\displaystyle \Im (e^{i\alpha })={\frac {e^{i\alpha }-e^{-i\alpha }}{2i}}=\sin(\alpha )}
operatori lineari . Dunque abbiamo due casi:
P
(
e
i
a
+
e
i
b
)
=
2
cos
(
a
−
b
2
)
P
(
e
i
a
+
b
2
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(e^{ia}+e^{ib})=2\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right){\mathcal {P}}\left(e^{i{\frac {a+b}{2}}}\right)}
per linearità, e equivalentemente
P
(
e
i
a
−
e
i
b
)
=
2
sin
(
a
−
b
2
)
P
(
i
e
i
a
+
b
2
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(e^{ia}-e^{ib})=2\sin \left({\frac {a-b}{2}}\right){\mathcal {P}}\left(i\,e^{i{\frac {a+b}{2}}}\right)}
