In matematica, per funzione lineare si intende:

• Nel calcolo infinitesimale, una funzione polinomiale di grado zero o uno.^[1]
• In algebra lineare e analisi funzionale, una trasformazione lineare.^[2]

Quando si introduce il calcolo infinitesimale e quando si trattano le funzioni polinomiali, in genere si chiama funzione lineare una funzione di una variabile reale ${\displaystyle x}$ a valori reali della forma:

${\displaystyle f(x)=mx+c,}$

con ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle c}$ costanti reali. Se ${\displaystyle m>0,}$ la funzione è strettamente crescente; se ${\displaystyle m<0,}$ la funzione è strettamente decrescente. Queste funzioni vengono visualizzate nel piano cartesiano riferito a due assi ortogonali come rette di equazione:

${\displaystyle y=mx+c.}$

La costante ${\displaystyle m}$ viene detta coefficiente angolare, pendenza o gradiente, invece ${\displaystyle c}$ è chiamata intercetta con l'asse delle ${\displaystyle y}$. In effetti la retta interseca l'asse ${\displaystyle Oy}$ nel punto ${\displaystyle (0,c)}$; la retta inoltre interseca l'asse ${\displaystyle Ox}$ nel punto ${\displaystyle (-{\tfrac {c}{m}},0)}$, come si ricava imponendo ${\displaystyle y=0}$ e risolvendo la equazione ${\displaystyle 0=mx+c}$; quando però ${\displaystyle m=0}$ la retta è orizzontale e si può dire che "incontra" l'asse ${\displaystyle Ox}$ solo all'infinito (per formalizzare opportunamente questa idea è necessario introdurre il piano proiettivo).

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=2x+1,\qquad &&(m=2;\ c=1);\\f(x)&=x,\qquad &&(m=1;\ c=0);\\f(x)&=9,\qquad &&(m=0;\ c=9);\\f(x)&=-3x+4,\qquad &&(m=-3;\ c=4).\end{aligned}}}$

Si osserva che al crescere di ${\displaystyle m}$ a partire da 0, la retta da orizzontale ruota in senso antiorario aumentando la propria pendenza, invece facendo assumere a ${\displaystyle m}$ valori negativi la retta ruota in senso orario. Cambiando la costante ${\displaystyle c}$ la retta trasla verso l'alto o verso il basso, rispettivamente all'aumentare oppure al diminuire di ${\displaystyle c}$ partendo da 0.

La definizione precedente può estendersi a funzioni di due o più variabili reali o complesse. Ad esempio per funzione lineare di due variabili reali ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ a valori reali si intende una funzione della forma:

${\displaystyle f(x,y)=mx+ny+c.}$

Essa nello spazio tridimensionale riferito a una terna cartesiana ortogonale viene visualizzata come piano che interseca l'asse verticale ${\displaystyle Oz}$ nel punto ${\displaystyle (0,0,c)}$, l'asse ${\displaystyle Ox}$ in ${\displaystyle (-{\tfrac {c}{m}},0,0)}$, o all'infinito se ${\displaystyle m=0,}$ e l'asse ${\displaystyle Oy}$ in ${\displaystyle (0,-{\tfrac {c}{n}},0)}$, o all'infinito se ${\displaystyle n=0}$.

Lo stesso argomento in dettaglio: Trasformazione lineare.

Per trasformazione lineare (o applicazione lineare), solitamente definita in uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ su un campo ${\displaystyle K}$, si intende una funzione che soddisfa le due proprietà:

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),\qquad \forall x,y\in V,}$

${\displaystyle f(ax)=af(x),\qquad \forall a\in K,\quad \forall x\in V,}$

rispettivamente di additività e omogeneità.

Equivalentemente si può chiedere che:

${\displaystyle f(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})=a_{1}f(x_{1})+a_{2}f(x_{2}),\qquad \forall x_{1},x_{2}\in V,\quad \forall a_{1},a_{2}\in K.}$

In questa definizione ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle x_{1}}$ e ${\displaystyle x_{2}}$ possono essere elementi arbitrari di uno spazio vettoriale su un campo ${\displaystyle K}$ o anche elementi arbitrari di un modulo su un anello commutativo ${\displaystyle R}$. La funzione ${\displaystyle f}$ a sua volta ha come codominio uno spazio vettoriale oppure un modulo. A questa definizione possono adattarsi anche le funzioni viste in precedenza, in quanto hanno come dominio e come codominio degli spazi vettoriali come ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \mathbb {C} }$, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.

Per la funzione considerata inizialmente

${\displaystyle f(x)=mx+c}$

i due membri dell'uguaglianza sono

${\displaystyle m(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})+c\qquad {\text{e}}\qquad a_{1}(mx_{1}+c)+a_{2}(mx_{2}+c)}$

e questi sono uguali se e solo se ${\displaystyle c=0}$.

Dunque il termine "funzione lineare" viene usato con due significati diversi. Per la prima nozione qui introdotta sarebbe preferibile il termine funzione affine, ma l'abitudine alla definizione più comune è molto radicata.

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=x;\\f(x)&=-5x;\\f(x)&=(4x,0,-x);\\f(x,y)&=3x+7y;\\f(x,y)&=(x-4y,2x,9x+2y).\end{aligned}}}$

• (EN) Izrail Moiseevich Gelfand (1961), Lectures on Linear Algebra, Interscience Publishers, Inc., New York. Reprinted by Dover, 1989. ISBN 0-486-66082-6
• (EN) Thomas S. Shores (2007), Applied Linear Algebra and Matrix Analysis, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer. ISBN 0-387-33195-6
• (EN) James Stewart (2012), Calculus: Early Transcendentals, edition 7E, Brooks/Cole. ISBN 978-0-538-49790-9
• (EN) Leonid N. Vaserstein (2006), "Linear Programming", in Leslie Hogben, ed., Handbook of Linear Algebra, Discrete Mathematics and Its Applications, Chapman and Hall/CRC, chap. 50. ISBN 1-584-88510-6

• Trasformazione lineare
• Operatore lineare continuo

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla funzione lineare

• (EN) Eric W. Weisstein, Linear Function, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) L.D. Kudryavtsev, Linear function, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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