Teorema di Kellogg (punto fisso)

In analisi matematica, il teorema di Kellogg è un teorema di punto fisso che fornisce una condizione di unicità per il punto fisso dato dal teorema di Brouwer (e dal teorema di Schauder, nel caso a dimensione infinita). Il teorema è stato dimostrato nel 1975 da R. B. Kellogg, e pubblicato sulla rivista Proceedings of the AMS.

Il teorema di Brouwer garantisce, data una funzione continua ${\displaystyle f:{\overline {B}}\to {\overline {B}}}$ definita sul disco chiuso:

${\displaystyle {\overline {B}}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|\leqslant 1\}}$

l'esistenza di un punto fisso, cioè un ${\displaystyle x}$ tale che ${\displaystyle f(x)=x}$.

Il teorema di Kellogg garantisce che, sotto opportune ipotesi, tale punto fisso è anche unico, similmente a quanto accade nel teorema delle contrazioni. Nello specifico stabilisce che se valgono le ipotesi seguenti:

• La funzione ${\displaystyle f\in C^{1}(D)}$ è una funzione completamente continua definita sulla chiusura ${\displaystyle {\overline {D}}}$ di un sottoinsieme aperto convesso ${\displaystyle D}$ in uno spazio di Banach reale.
• Per ogni ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle D}$, la derivata ${\displaystyle f'}$ non ha autovalore 1.
• Non esistono punti fissi sul bordo. In altre parole, ${\displaystyle f(x)\neq x}$ per ogni ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle \partial D}$.

Allora ${\displaystyle f}$ ha un unico punto fisso nell'interno ${\displaystyle D}$.

Esiste una seconda versione del teorema:

sia ${\displaystyle D}$ un sottoinsieme aperto, convesso e limitato di uno spazio di Banach reale ${\displaystyle X}$. Sia ${\displaystyle F:{\overline {D}}\to {\overline {D}}}$ un'applicazione continua, compatta e differenziabile secondo Fréchet su ${\displaystyle D}$. Si supponga che:

• per ogni ${\displaystyle x\in D}$, 1 non è un autovalore di ${\displaystyle F'(x)}$.
• per ogni ${\displaystyle x\in \partial D}$, si ha ${\displaystyle x\not =F(x)}$.

Allora ${\displaystyle F}$ ha un unico punto fisso in ${\displaystyle D}$.

• Teorema del punto fisso di Brouwer
• Teoremi di punto fisso

• L'articolo di Kellog sui Proceeding of the AMS, rivista della American Mathematical Society.
• (EN) H. L. Smith, C. A. Stuart - A uniqueness theorem for fixed points (PDF), su ams.org.
• (EN) Louis A. Talman - A note on Kellogg's uniqueness theorem for fixed points (PDF), su ams.org.

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