Teorema di Pitot

Il teorema di Pitot in geometria afferma che in un quadrilatero circoscrivibile^[1] o convesso, le due coppie di lati opposti hanno la stessa lunghezza totale. Prende il nome dall'ingegnere francese Henri Pitot,^[2][3] che lo dimostrò nel 1725, mentre il teorema inverso fu dimostrato dal matematico svizzero Jakob Steiner nel 1846:^[4][5][6]

Un quadrilatero circoscrivibile è definito come un quadrilatero convesso in cui è possibile inscrivere una circonferenza e quindi per esso tutti e quattro i lati sono tangenti alla stessa circonferenza inscritta. Il teorema di Pitot afferma che, per questi quadrilateri, le due somme delle lunghezze dei lati opposti sono uguali. In formule:

${\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {CD}}={\overline {BC}}+{\overline {DA}}.}$

Entrambe le somme delle lunghezze sono uguali al semiperimetro del quadrilatero.^[6]

È vera anche l'implicazione inversa: ogni volta che un quadrilatero convesso ha coppie di lati opposti con le stesse somme di lunghezze, ammette una circonferenza inscritta. Si tratta quindi di una caratterizzazione esatta: i quadrilateri circoscrivibile sono esattamente i quadrilateri con somme uguali di lunghezze di lati opposti.^[6]

Un modo per dimostrare il teorema di Pitot è quello di dividere i lati di un dato quadrilatero circoscrivibile nei punti in cui la circonferenza inscritta tocca ciascun lato. In questo modo si dividono i quattro lati in otto segmenti, compresi tra un vertice del quadrilatero e un punto di tangenza con la circonferenza. Due di questi segmenti che si incontrano nello stesso vertice hanno la stessa lunghezza, formando una coppia di segmenti di uguale lunghezza. I due lati opposti hanno un segmento di ciascuna di queste coppie. Pertanto, i quattro segmenti di due lati opposti hanno la stessa lunghezza e la stessa somma di lunghezze dei quattro segmenti degli altri due lati opposti.

Siano ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle S}$ i punti di tangenza alla circonferenza di ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CD}$, ${\displaystyle DA}$ rispettivamente.

Poiché tali segmenti giacciono su rette tangenti alla stessa circonferenza, si sa che:

${\displaystyle {\overline {AP}}={\overline {AS}}=a;}$

${\displaystyle {\overline {BP}}={\overline {BQ}}=b;}$

${\displaystyle {\overline {CQ}}={\overline {CR}}=c;}$

${\displaystyle {\overline {DR}}={\overline {DS}}=d.}$

Quindi:

${\displaystyle {\overline {AB}}=a+b;}$

${\displaystyle {\overline {BC}}=b+c;}$

${\displaystyle {\overline {CD}}=c+d;}$

${\displaystyle {\overline {DA}}=d+a.}$

Allora

${\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {CD}}=a+b+c+d={\overline {BC}}+{\overline {DA}}.}$

Il teorema di Pitot si generalizza ai poligoni circoscrivibili di ${\displaystyle 2n}$ lati, nel qual caso le due somme dei lati "alterni" sono uguali. Si applica la stessa idea di dimostrazione.^[7]

• (EN) When A Quadrilateral Is Inscriptible?, su Cut-the-knot: Alexander Bogomolny, “Quando un quadrilatero è inscrivibile?”. URL consultato il 30 ottobre 2024.
• (EN) The Tangential (or Circumscribed) Polygon Side Sum theorem, su dynamicmathematicslearning.com. URL consultato il 30 ottobre 2024. Una generalizzazione del teorema di Pitot

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