Distribuzione chi quadrato

Distribuzione ${\displaystyle \chi ^{2}(k)}$
Funzione di densità di probabilità
Funzione di ripartizione
Parametri	${\displaystyle k\in \mathbb {N} \setminus \{0\}}$ (gradi di libertà)
Supporto	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
Funzione di densità	${\displaystyle {\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2}}$
Funzione di ripartizione	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (k/2)}}\gamma (k/2,x/2)}$
Valore atteso	${\displaystyle k}$
Mediana	circa ${\displaystyle k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}}$
Moda	${\displaystyle \max\{k-2,0\}}$
Varianza	${\displaystyle 2k}$
Indice di asimmetria	${\displaystyle {\sqrt {8/k}}}$
Curtosi	${\displaystyle 12/k}$
Entropia	${\displaystyle {\frac {k}{2}}+\ln(2\Gamma (k/2))+(1-k/2)\psi (k/2)}$
Funzione generatrice dei momenti	${\displaystyle M_{X}(t)=(1-2t)^{-k/2}}$ per ${\displaystyle -1/2\leqslant t\leqslant 1/2}$
Funzione caratteristica	${\displaystyle \varphi _{X}(t)=(1-2\,i\,t)^{-k/2}}$
Manuale

Nella teoria della probabilità la distribuzione chi quadrato (o chi-quadro,^[1] indicata con ${\displaystyle \chi ^{2}}$) è la distribuzione di probabilità della somma dei quadrati di variabili aleatorie normali indipendenti.

In statistica, il test chi quadrato è un particolare test di verifica d'ipotesi che fa uso di questa distribuzione.

La distribuzione ${\displaystyle \chi _{k}^{2}}$ è la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria definita come

${\displaystyle \chi _{k}^{2}=\sum _{i=1}^{k}x_{i}^{2}=x_{1}^{2}+\ldots +x_{k}^{2}}$

dove ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k}}$ sono variabili aleatorie indipendenti con distribuzione normale standard ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$. Il parametro ${\displaystyle k}$ è detto "numero di gradi di libertà".

Ernst Abbe (1840-1905), un ottico, fu colui che scoprì la ${\displaystyle \chi ^{2}}$ analizzando la sommatoria di variabili casuali normali standardizzate e indipendenti al quadrato, che produce una nuova variabile casuale, la ${\displaystyle \chi ^{2}}$ appunto.^[2]

Per definizione, la somma di due variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni ${\displaystyle \chi ^{2}(m)}$ e ${\displaystyle \chi ^{2}(n)}$ è una variabile aleatoria con distribuzione ${\displaystyle \chi ^{2}(m+n)}$:

${\displaystyle (x_{1}^{2}+\ldots +x_{m}^{2})+(x_{m+1}^{2}+\ldots +x_{m+n}^{2})=x_{1}^{2}+\ldots +x_{m+n}^{2}.}$

Più in generale la somma di variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni ${\displaystyle \chi ^{2}(k_{1}),\ldots ,\chi ^{2}(k_{n}),}$ è una variabile aleatoria con distribuzione ${\displaystyle \chi ^{2}(k_{1}+\ldots +k_{n}).}$

Una generalizzazione della distribuzione ${\displaystyle \chi ^{2}}$ è la distribuzione Gamma: ${\displaystyle \Gamma ({\tfrac {k}{2}},{\tfrac {1}{2}})=\chi ^{2}(k).}$

In particolare una variabile aleatoria ${\displaystyle x}$ con distribuzione ${\displaystyle \chi ^{2}(k)}$ ha

• funzione di densità di probabilità data da

${\displaystyle f_{k}(x)={\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2}\quad }$ per ${\displaystyle x>0}$

dove ${\displaystyle \Gamma }$ indica la funzione Gamma, che assume i valori

${\displaystyle \Gamma (k/2)={\sqrt {\pi }}{\frac {(k-2)!!}{2^{(k-1)/2}}}\quad }$ per ${\displaystyle k}$ dispari

${\displaystyle \Gamma (k/2)=(k/2-1)!\quad }$ per ${\displaystyle k}$ pari

(i simboli ${\displaystyle !}$ e ${\displaystyle !!}$ indicano rispettivamente il fattoriale e il doppio fattoriale);

• funzione di ripartizione data da

${\displaystyle F_{k}(x)={\frac {1}{\Gamma (k/2)}}\gamma (k/2,x/2),}$

dove ${\displaystyle \gamma (s,x)=\int _{0}^{x}t^{s-1}e^{-t}dt}$

• valore atteso: ${\displaystyle \mathbb {E} [x]=k;}$
• varianza: ${\displaystyle \sigma ^{2}(x)=2k;}$
• simmetria: ${\displaystyle \gamma _{1}={\sqrt {8/k}};}$
• curtosi: ${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {12}{k}};}$
• moda: ${\displaystyle \max\{0,k-2\}.}$

Per il teorema centrale del limite la distribuzione ${\displaystyle \chi ^{2}(k)}$ converge ad una distribuzione normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ per ${\displaystyle k}$ che tende all'infinito. Più precisamente, se ${\displaystyle x(k)=x_{1}^{2}+\dots {}+x_{k}^{2}}$ segue la distribuzione ${\displaystyle \chi ^{2}(k)}$, allora la distribuzione di probabilità di

${\displaystyle {\frac {x(k)-k}{\sqrt {2k}}},}$

tende a quella della normale standard ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1).}$

Per avere una convergenza più rapida talvolta vengono considerate ${\displaystyle {\sqrt {2x(k)^{2}}}}$ o ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\frac {x(k)^{2}}{k}}}.}$

La distribuzione χ² è un caso particolare della legge Γ e ricade nella terza famiglia di distribuzioni di Pearson.

La distribuzione χ² non centrale è data dalla somma dei quadrati di variabili aleatorie indipendenti ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k}}$ aventi distribuzioni normali ridotte, ma non necessariamente centrate, ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu _{1},1),\ldots ,{\mathcal {N}}(\mu _{k},1)}$:

${\displaystyle x^{2}=x_{1}^{2}+\ldots +x_{k}^{2}.}$

Un'altra generalizzazione prevede di considerare una forma quadratica ${\displaystyle V^{t}AV}$ sul vettore aleatorio ${\displaystyle v=(x_{1},\ldots ,x_{k}).}$

In statistica la distribuzione χ² viene utilizzata per condurre il test di verifica d'ipotesi χ² e per stimare una varianza, ed è legato alle distribuzioni di Student e di Fisher-Snedecor.

Il caso più comune è quello di variabili aleatorie indipendenti ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ di distribuzione normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma )}$ e media ${\displaystyle \textstyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$, dove lo stimatore della varianza

${\displaystyle S_{n-1}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{n-1}},}$

segue la distribuzione

${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{n-1}}\chi ^{2}(n-1).}$

Per valori di ${\displaystyle k}$ superiori a 30 (o a 50) la distribuzione ${\displaystyle \chi ^{2}}$ viene approssimata con una distribuzione normale.

La seguente tabella illustra alcuni valori critici più comunemente utilizzati. In corrispondenza dei valori ${\displaystyle k}$ sulla riga e α sulla colonna si trova il valore critico ${\displaystyle z_{\alpha }=F_{k}^{-1}(\alpha )}$, ovvero il valore per il quale una variabile aleatoria ${\displaystyle x^{2}}$ di distribuzione ${\displaystyle \chi ^{2}(k)}$ verifica

${\displaystyle P(x^{2}<z_{\alpha })=\alpha .}$

Sia Y = X², dove X è una variabile casuale normalmente distribuita con media nulla e varianza unitaria (X ~ N(0,1)).

Allora, se ${\displaystyle y<0,~P(Y<y)=0}$, mentre, se ${\displaystyle y\geq 0,~P(Y<y)=P(X^{2}<y)=P(|X|<{\sqrt {y}})=F_{X}({\sqrt {y}})-F_{X}(-{\sqrt {y}})}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{Y}(y)&=f_{X}({\sqrt {y}}){\frac {\partial ({\sqrt {y}})}{\partial y}}-f_{X}(-{\sqrt {y}}){\frac {\partial (-{\sqrt {y}})}{\partial y}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\frac {1}{2y^{1/2}}}e^{-{\frac {y}{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\frac {1}{2y^{1/2}}}e^{-{\frac {y}{2}}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\frac {1}{y^{1/2}}}e^{-{\frac {y}{2}}}\\&={\frac {1}{2^{\frac {1}{2}}\Gamma ({\frac {1}{2}})}}y^{{\frac {1}{2}}-1}e^{-{\frac {y}{2}}}\end{aligned}}}$

dove ${\displaystyle F}$ e ${\displaystyle f}$ sono, rispettivamente, la funzione di probabilità cumulata e la funzione di densità.

Si ha quindi: ${\displaystyle Y=X^{2}\sim \chi _{1}^{2}}$.

È possibile derivare la distribuzione con 2 gradi di libertà partendo da quella con un grado.

Siano ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ due variabili casuali indipendenti tali che ${\displaystyle x\sim \chi _{1}^{2}}$ e ${\displaystyle y\sim \chi _{1}^{2}}$.

Dall'assunto di indipendenza segue che la loro funzione di probabilità congiunta è:

${\displaystyle f_{xy}(x,y)=f_{x}(x)f_{y}(y)={\frac {1}{2\Gamma ({\frac {1}{2}})^{2}}}(xy)^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {x+y}{2}}}={\frac {1}{2\pi }}(xy)^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {x+y}{2}}}.}$

Siano ${\displaystyle A=xy}$ e ${\displaystyle B=x+y}$, abbiamo che:

${\displaystyle x={\frac {B+{\sqrt {B^{2}-4A}}}{2}}}$

${\displaystyle y={\frac {B-{\sqrt {B^{2}-4A}}}{2}}}$

o

${\displaystyle x={\frac {B-{\sqrt {B^{2}-4A}}}{2}}}$

${\displaystyle y={\frac {B+{\sqrt {B^{2}-4A}}}{2}}}$

Data la simmetria, possiamo prendere la prima coppia di soluzioni e moltiplicare il risultato per 2.

Lo jacobiano è:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}-(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}&{\frac {1+B(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}\\(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}&{\frac {1-B(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}\\\end{vmatrix}}=(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}}$

Possiamo quindi passare da ${\displaystyle f(x,y)}$ a ${\displaystyle f(A,B)}$:

${\displaystyle f_{AB}(A,B)=2\times {\frac {1}{2\pi }}A^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {B}{2}}}(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}}$

La distribuzione marginale di ${\displaystyle B=x+y}$ è quindi:

${\displaystyle f_{B}(B)=2\times {\frac {e^{-{\frac {B}{2}}}}{2\pi }}\int _{0}^{\frac {B^{2}}{4}}A^{-{\frac {1}{2}}}(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}dA}$

Ponendo ${\displaystyle A={\frac {B^{2}}{4}}\sin ^{2}(t)}$, l'equazione diventa:

${\displaystyle f_{B}(B)=2\times {\frac {e^{-{\frac {B}{2}}}}{2\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}dt}$

da cui:

${\displaystyle f_{B}(B)={\frac {e^{-{\frac {B}{2}}}}{2}}={\frac {1}{2\Gamma (1)}}B^{{\frac {2}{2}}-1}e^{-{\frac {B}{2}}}}$

Un campione di ${\displaystyle k}$ realizzazioni ${\displaystyle x_{i}}$ di una variabile normale standard è rappresentabile come un punto in uno spazio k-dimensionale. La distribuzione della somma dei quadrati sarà:

${\displaystyle P(Q)dQ=\int _{\Gamma }\prod _{i=1}^{k}N(x_{i})\,dx_{i}=\int _{\Gamma }{\frac {e^{-(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{k}^{2})/2}}{(2\pi )^{k/2}}}\,dx_{1}dx_{2}\ldots dx_{k}}$

dove ${\displaystyle N(x)}$ è la funzione di densità di una distribuzione normale standard e ${\displaystyle \Gamma }$ è una superficie ${\displaystyle (k-1)}$-dimensionale nello spazio ${\displaystyle k}$-dimensionale per cui vale:

${\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{k}x_{i}^{2}.}$

Tale superficie è una sfera ${\displaystyle k-1}$ dimensionale con raggio ${\displaystyle R={\sqrt {Q}}}$.

Poiché ${\displaystyle Q}$ è costante, può essere portato fuori dall'integrale:

${\displaystyle P(Q)dQ={\frac {e^{-Q/2}}{(2\pi )^{k/2}}}\int _{\Gamma }dx_{1}dx_{2}\ldots dx_{k}}$

L'integrale non è altro che l'area ${\displaystyle A}$ della sfera moltiplicata per lo spessore infinitesimo della stessa, ovvero:

${\displaystyle dR={\frac {dQ}{2Q^{1/2}}}.}$

${\displaystyle A={\frac {kR^{k-1}\pi ^{k/2}}{\Gamma (k/2+1)}}}$

Sostituendo, notando che ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$, e semplificando otteniamo infine:

${\displaystyle P(Q)dQ={\frac {e^{-Q/2}}{(2\pi )^{k/2}}}A\,dR={\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}Q^{k/2-1}e^{-Q/2}\,dQ}$

da cui:

${\displaystyle P(Q)={\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}Q^{k/2-1}e^{-Q/2}.}$

• Sheldon M. Ross, Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze, Trento, Apogeo, 2003, ISBN 88-7303-897-2.

• Distribuzione chi quadrato non centrale
• Distribuzione di Fisher-Snedecor
• Distribuzione normale
• Distribuzione t di Student
• Ernst Abbe
• Teoremi centrali del limite
• Test chi quadrato
• Variabili dipendenti e indipendenti
• Varianza
• Analisi delle corrispondenze

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla distribuzione chi quadrato

• Distribuzione chi-quadrato, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Chi-Squared Distribution, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Chi-squared distribution, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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