Singolarità isolata

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In matematica, e più precisamente in analisi complessa, una singolarità isolata è un punto in cui una funzione olomorfa non è definita mentre risulta definita in ogni altro punto vicino. La funzione olomorfa può avere nel punto essenzialmente tre tipi di comportamenti diversi, e a seconda del comportamento la singolarità è detta eliminabile, polo o essenziale.

Sia ${\displaystyle z_{0}}$ un punto contenuto in un insieme aperto ${\displaystyle A}$ del piano complesso. Una funzione

${\displaystyle f:A\setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C} }$

ha una singolarità isolata in ${\displaystyle z_{0}}$ se esiste un intorno ${\displaystyle U}$ di ${\displaystyle z_{0}}$ per cui la funzione è olomorfa in ${\displaystyle U\setminus \{z_{0}\}}$. Quindi la funzione non è definita in ${\displaystyle z_{0}}$, mentre in ogni altro punto sufficientemente vicino è definita e differenziabile in senso complesso.

La funzione ${\displaystyle f}$ ammette uno sviluppo come serie di Laurent nel punto ${\displaystyle z_{0}}$. La funzione è quindi scrivibile in un intorno del punto come serie

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}.}$

Si distinguono generalmente tre tipi di comportamento della ${\displaystyle f}$ vicino al punto di singolarità ${\displaystyle z_{0}}$. Ciascuno di questi è determinato dallo sviluppo locale in serie di Laurent, oppure dal comportamento del modulo ${\displaystyle |f(z)|}$ vicino al punto.

Si noti che la tipologia di singolarità non è univocamente determinata dalla serie di Laurent locale se essa ha raggio di convergenza positivo.

La singolarità ${\displaystyle z_{0}}$ è eliminabile se esiste il limite

${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}f(z)=L\in \mathbb {C} .}$

Le condizioni seguenti sono equivalenti a questa:

• I termini negativi della serie di Laurent sono tutti nulli, cioè ${\displaystyle a_{n}=0}$ per ogni ${\displaystyle n<0}$.
• Il modulo ${\displaystyle |f(z)|}$ è limitato in un intorno di ${\displaystyle z_{0}}$,
• La funzione si estende ad una funzione continua su tutto ${\displaystyle A}$,
• La funzione si estende ad una funzione olomorfa su tutto ${\displaystyle A}$.

Esempio: la funzione ${\displaystyle f(z)={\frac {\sin(z)}{z}}}$ presenta una singolarità eliminabile in ${\displaystyle z=0}$.

Lo stesso argomento in dettaglio: Polo (analisi complessa).

La singolarità ${\displaystyle z_{0}}$ è un polo se esiste un numero intero positivo ${\displaystyle n}$ tale che esista il limite

${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}(z-z_{0})^{n}\cdot f(z)=L\in \mathbb {C} ,}$

con ${\displaystyle L\neq 0}$. Il numero ${\displaystyle n}$ è l'ordine o molteplicità del polo. Un polo di ordine 1 è detto semplice.

Le condizioni seguenti sono equivalenti a questa:

• Esiste solo un numero finito (diverso da zero) di termini negativi non nulli della serie di Laurent. Cioè, esiste ${\displaystyle n<0}$ tale che ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ e ${\displaystyle a_{k}=0}$ per ogni ${\displaystyle k<n}$.
• Il modulo ${\displaystyle |f(z)|}$ tende a ${\displaystyle +\infty }$ se ${\displaystyle z}$ tende a ${\displaystyle z_{0}}$.
• La funzione ${\displaystyle g(z)=1/f(z)}$ è definita in un intorno di ${\displaystyle z_{0}}$ ed ha una singolarità eliminabile in ${\displaystyle z_{0}}$.

Esempio: la funzione ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{(z-1)^{2}}}}$ presenta un polo di ordine 2 (${\displaystyle n=2}$), detto anche polo doppio, in ${\displaystyle z=1}$.

Una singolarità essenziale è una singolarità che non rientra nei casi precedenti, cioè che non sia né una singolarità eliminabile né un polo. Le condizioni seguenti sono equivalenti a questa:

• Esiste un numero infinito di termini negativi non nulli della serie di Laurent. Cioè, per ogni ${\displaystyle n_{0}<0}$ esiste un ${\displaystyle n<n_{0}}$ con ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$.
• Il modulo ${\displaystyle |f(z)|}$ non ha limite per ${\displaystyle z}$ tendente a ${\displaystyle z_{0}}$

Esempio: la funzione ${\displaystyle f(z)={\frac {e^{\frac {1}{z}}}{z^{3}}}}$ presenta una singolarità essenziale in ${\displaystyle z=0}$.

Ogni funzione

${\displaystyle f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}}}$

scritta come rapporto di due polinomi è definita nell'aperto ${\displaystyle A}$ ottenuto rimuovendo da ${\displaystyle \mathbb {C} }$ le radici ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}}$ di ${\displaystyle q}$. Se queste non sono anche radici di ${\displaystyle p}$, in ogni ${\displaystyle z_{i}}$ la funzione ha un polo, il cui ordine è pari alla molteplicità della radice.

La funzione

${\displaystyle f(z)=e^{\frac {1}{z}}}$

definita su ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ha una singolarità essenziale in ${\displaystyle 0}$. Infatti lo sviluppo di Laurent è

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {\,z^{-n}}{n!}}}$

che ha infiniti termini negativi non nulli.

Anche il fatto che la funzione ${\displaystyle |f(z)|=|e^{\frac {1}{z}}|}$ non ammetta limite (finito o infinito) per ${\displaystyle z}$ che tende a 0 è sufficiente per dimostrare l'essenzialità della singolarità.

Sia ${\displaystyle k}$ un numero intero. Moltiplicando la funzione ${\displaystyle f(z)}$ per ${\displaystyle (z-z_{0})^{k}}$, i coefficienti della serie di Laurent centrata in ${\displaystyle z_{0}}$ vengono traslati di ${\displaystyle k}$ posti (a sinistra o a destra a seconda del segno di ${\displaystyle k}$). In questo modo è possibile modificare l'ordine di un polo, trasformare ogni polo in singolarità eliminabile, oppure viceversa creare poli a partire da singolarità eliminabili.

Se la singolarità è essenziale, rimane tale anche dopo la moltiplicazione per ${\displaystyle (z-z_{0})^{k}}$.

Una funzione vicino ad una singolarità essenziale è estremamente discontinua. Per il Teorema di Casorati-Weierstrass, l'immagine ${\displaystyle f(U)}$ di ogni intorno aperto ${\displaystyle U}$ di ${\displaystyle z_{0}}$ è un aperto denso del piano complesso. Il teorema di Picard afferma di più: ${\displaystyle f(U)}$ è tutto il piano complesso, oppure il piano tranne un punto.

Da questo segue ad esempio che per ogni numero complesso ${\displaystyle \lambda }$ esiste una successione di punti ${\displaystyle z_{i}\to z_{0}}$ convergenti a ${\displaystyle z_{0}}$ tali che ${\displaystyle f(z_{i})\to \lambda }$. In altre parole, la funzione intorno a ${\displaystyle z_{0}}$ "converge a qualsiasi cosa".

Per una funzione intera

${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$

(o più in generale una funzione olomorfa definita sul complementare di un compatto di ${\displaystyle \mathbb {C} }$) è possibile parlare di singolarità all'infinito. Questa è la singolarità in ${\displaystyle 0}$ della funzione

${\displaystyle g:\mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C} }$

definita come ${\displaystyle g(z)=f(1/z)}$. In particolare, la singolarità all'infinito può essere eliminabile, un polo o essenziale. Si può studiare una singolarità all'infinito di una funzione ${\displaystyle f(z)}$ cambiando la variabile:

${\displaystyle z={\frac {1}{\eta }}}$

allora il punto all'infinito diventa l'origine e acquisisce il tipo di singolarità della funzione ${\displaystyle g(\eta )=f({\frac {1}{z}})}$ nel punto ${\displaystyle \eta =0}$.

Il Teorema di Liouville dice che una funzione intera avente singolarità eliminabile all'infinito è costante.

• Polo (analisi complessa)
• Punto fuchsiano
• Residuo (analisi complessa)

• (EN) isolated singularity, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Singolarità isolata, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Singolarità isolata, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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