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Il teorema di Casorati-Weierstrass in analisi complessa descrive il particolare comportamento di funzioni olomorfe nei pressi di singolarità essenziali. Il teorema è così chiamato in onore di Karl Weierstraß e Felice Casorati.

Sia U un sottoinsieme aperto del piano complesso contenente il numero z₀, e sia f una funzione olomorfa f definita in U − {z₀}. Il numero complesso z₀ prende il nome di singolarità essenziale per f se non esiste alcun numero naturale n tale che il limite

${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}f(z)\cdot (z-z_{0})^{n}}$

esista. Per esempio, la funzione f(z) = exp(1/z) ha una singolarità essenziale in z₀ = 0, mentre la funzione g(z) = 1/z³ no (ha infatti un polo in 0 di ordine 3).

Condizione necessaria e sufficiente perché un punto z₀ sia una singolarità essenziale isolata per f è che

${\displaystyle \limsup _{z\rightarrow z_{0}}|f(z)|=\infty }$

e

${\displaystyle \liminf _{z\rightarrow z_{0}}|f(z)|=0.}$

Se una funzione complessa olomorfa f ha una singolarità essenziale in z₀, allora per ogni intorno V di z₀ contenuto nel campo di olomorfia U di f, f(V − {z₀}) è denso in C.

O, equivalentemente:

Sia ε > 0 e sia I un intorno arbitrario di z₀. Per ogni numero complesso w esistono infiniti punti z ∈ I tale che |f(z) - w| < ε.

Sia w un numero complesso arbitrario. Se z₀ è una singolarità essenziale per f(z), è tale anche per la funzione ${\displaystyle f(z)-w}$. Si avrà quindi:

${\displaystyle \liminf _{z\rightarrow z_{0}}|f(z)-w|=0,}$

e dalla definizione di limite inferiore segue subito il teorema.

Forniamo una seconda dimostrazione in cui non si fa uso della proprietà con il limite inferiore. La dimostrazione procede per assurdo.^[1]

Supponiamo per assurdo che ${\displaystyle \exists w\in \mathbb {C} ,\exists \epsilon >0,\exists \delta >0}$ tali che ${\displaystyle \forall z:|z-a|<\delta ,|f(z)-w|>\epsilon }$. Allora

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow a}{\frac {|f(z)-w|}{|z-a|}}=+\infty ,}$

e ciò implica che la funzione ${\displaystyle {\frac {f(z)-w}{z-a}}}$ ha un polo in ${\displaystyle z=a.}$ Sia ${\displaystyle m}$ il suo ordine. Dunque

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow a}|z-a|^{m+1}{|f(z)-w|}=0}$

e per la disuguaglianza triangolare

${\displaystyle |f(z)|\leq |f(z)-c|+|c|}$

si ha che

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow a}|z-a|^{m+1}|f(z)|=0.}$

Ma come visto nelle premesse, questo è assurdo, poiché la funzione ha una singolarità essenziale in ${\displaystyle a}$ e tale limite non dovrebbe esistere.

Il teorema venne considerevolmente rafforzato dal teorema di Picard che afferma che, utilizzando la notazione di cui sopra, ${\displaystyle f}$ assume ogni valore complesso, con una sola possibile eccezione, infinite volte in ${\displaystyle V.}$

• John B. Conway, Functions of One Complex Variable, Second Edition, p.109, Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin, 1978.

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