Discussione:Equazione di terzo grado

questo non mi convince nelle espressioni scrite sotto

${\displaystyle {\begin{cases}y_{2}=-{\frac {u+v}{2}}+i\cdot {\frac {u-v}{2}}\cdot {\sqrt {3}}\\y_{3}=-{\frac {u+v}{2}}-i\cdot {\frac {u-v}{2}}\cdot {\sqrt {3}}\end{cases}}}$

per cui se u e v fossero reali abbiamo per forza radici complesse coniugate e cio' non misembra per niente giusto : debbo rifarmi la dimostrazione completa e linkarla per poi discuterne mi dà l'idea di una espressioni che fuoriescano durante lo svolgimento del problema e che siano state erroneamente scritte come formula risolutiva--Lupo rosso (msg) 07:58, 5 lug 2009 (CEST)[rispondi]

partiamo da qui

${\displaystyle x=y-{\frac {a}{3}}}$

[ NB questa formuletta si ottiene annullando la derivata seconda della funzione di terzo grado da cui scaturisce l'equazione di terzo grado quindi potrebbe essere un eventuale punto di flesso infatti annullare la derivata seconda e' come condizione necessaria ma nonsuffuciente per avere un flesso ] dopo aver fatto sostituzione che ci porta

${\displaystyle y^{3}+py+q=0\,\quad [1]}$

${\displaystyle p=-{\frac {a^{2}}{3}}+b\,}$

${\displaystyle q={\frac {2a^{3}}{27}}-{\frac {ab}{3}}+c\,}$ dove a, b, c sono coefficienti di ${\displaystyle x^{3}+ax^{2}+bx+c=0\,}$ ovvero equazione di terzo grado divisa per il primo coefficiente in modo tale da aver 1come coefficiente di ${\displaystyle x^{3}\,}$.

poniamo ${\displaystyle y=u+v\,}$

tale sostituzione viene fatta perchè introducendo due incognite in una sola equazione avrei infinite soluzione fissandone a piacere una e calcolandone l'altra e per un ottimo matematico quali i primi studiosi dell'eqauzione era facile prevedere che tale sostituzione portava a due pezzi separati per cui imponendli pari a zero si perviene ad un sistema che permette di arrivare ad un nyumero finito di soluzioni che scelti seguendo le condizioni poste sia dall'equazione che dall'algebra in generale daranno come somma le soluzione dell'equazioni ovvero le tre radici

${\displaystyle 0=y^{3}+py+q=(u+v)^{3}+p(u+v)+q=u^{3}+3u^{2}v+3uv^{2}+v^{3}+p(u+v)+q=(u3+v3+q)+(u+v)(3uv+p)\,}$

le soluzioni di u e v i che soddisfa la [1] saranno daricercare fra le soluzioni del sistema seguente

${\displaystyle u*v=-{\frac {p}{3}},\quad [2]}$.

${\displaystyle u^{3}+v^{3}=-q\,}$

in quando soddisfacendo tale sistema è soddisfatta la condizione di nullita' della [1]

elevando al cubo [2]

arriveremo al sistema

${\displaystyle u^{3}v^{3}=-{\frac {p^{3}}{27}}\,}$.

${\displaystyle u^{3}+v^{3}=-q\,}$

e sostituendo

${\displaystyle z^{2}+qz-{\frac {p}{27}}=0\,}$. utilizando l'incognita di supporto z che fornirà soluzioni per u e v

avremo u e v

${\displaystyle u^{3}=-{\frac {q}{2}}+{\sqrt[{2}]{{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}\,}$.

${\displaystyle v^{3}=-{\frac {q}{2}}-{\sqrt[{2}]{{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}\,}$.

da cui ottengo

${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt[{2}]{{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt[{2}]{{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}},\quad [3]}$.

NB:facciamo una premessa per render chiaro il risultato di tre soluzioni per una radice cubica consideriamo per esempio: ${\displaystyle 8^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{8}}\,}$ notazione esponenziale per radice cubica presenta tre soluzioni che valgono:

${\displaystyle x_{2}=2*(-{\frac {1}{2}}+{\frac {j(3^{\frac {1}{3}})}{2}})=1+j3^{\frac {1}{3}}}$

${\displaystyle x_{3}=2*(-{\frac {1}{2}}-{\frac {j(3^{\frac {1}{3}})}{2}})=1-j3^{\frac {1}{3}}}$

oltre ovviamente che ${\displaystyle x_{1}=2\,}$

ricordando che

per${\displaystyle K=0\,}$ , ${\displaystyle \cos 0+j\sin 0=1\,}$;

per ${\displaystyle K=1\,}$ avremo ${\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}}$ e quindi ${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{3}}+j\sin {\frac {2\pi }{3}}}$

per ${\displaystyle K=2\,}$ avremo ${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}}$ e quindi ${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{3}}+j\sin {\frac {4\pi }{3}}}$

ovvero la radice cubica di un numero reale ha tre soluzioni di cui una reale e due complesse coniugate e se il radicando delle radici cubiche della [3] riscritta sotto è reale avremo proprio questa condizione che ci fornirà il caso di soluzione più semplice per l'equazione di terzo grado , piu' complesso risulta il caso in cui nei radicandi compaiano radici quadrate di numeri negativi ;lo vedremo in seguito

${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt[{2}]{{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt[{2}]{{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}},\quad [3]}$.

un esponenziale di grado (1/n) ovvero radice di grado ennesimo ha n soluzioni nel caso specifico di 8^( 1/3 )avremo una radice reale che varra' -2

Un numero complesso può essere visto come un punto del piano cartesiano. Una rappresentazione di questo tipo si chiama diagramma di Argand. Nella figura si vede che

${\displaystyle z=x+iy=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$

essendo ${\displaystyle \cos \varphi }$ e ${\displaystyle \sin \varphi }$ funzioni trigonometriche. Le formule inverse per ${\displaystyle x>0}$ sono:

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle \varphi =\arctan {\frac {y}{x}}}$

Per ${\displaystyle x<0}$ vale invece l'uguaglianza:

${\displaystyle \varphi =\arctan {\frac {y}{x}}+\pi }$

Usando la formula di Eulero, possiamo esprimere ${\displaystyle z}$ come

${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi }}$

tramite la funzione esponenziale. Qui ${\displaystyle r}$ è il modulo (o valore assoluto o norma) e ${\displaystyle \varphi }$ è l'argomento di ${\displaystyle z}$. L'argomento è determinato da ${\displaystyle z\,}$ se è inteso nell'intervallo ${\displaystyle (0\;,2\pi )}$, altrimenti è definito solo a meno di somme con ${\displaystyle 2k\pi \,}$ per qualche intero ${\displaystyle k\,}$.

per cui ${\displaystyle 8=|8|*e^{j(2k\pi )}\,}$ con ${\displaystyle k\,}$ intero positivo quindi per avere tre radici metteremo K=0;K=1;K=2 e poi varemo la radice cubica di |8|=8 e separatamente le radici cubiche dell'esponenziale che per sua intrinseca proprieta' si fa dividendo per 3 l'argomento quindi

per${\displaystyle K=0\,}$ , ${\displaystyle \cos 0+j\sin 0=1\,}$;

per ${\displaystyle K=1\,}$ avremo ${\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}}$ e quindi ${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{3}}+j\sin {\frac {2\pi }{3}}}$

per ${\displaystyle K=2\,}$ avremo ${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}}$ e quindi ${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{3}}+j\sin {\frac {4\pi }{3}}}$

i risultati complessi son due numeri complessi che van moltiplicati per |8|^1/3=2 e ci forniscono le due radici complesse

${\displaystyle x_{2}=2*(-{\frac {1}{2}}+{\frac {j(3^{\frac {1}{3}})}{2}})=-1+j3^{\frac {1}{3}}}$

${\displaystyle x_{3}=2*(-{\frac {1}{2}}-{\frac {j(3^{\frac {1}{3}})}{2}})=-1-j3^{\frac {1}{3}}}$

ottenute ricordanco che se ${\displaystyle z=x+iy\,}$ che in notazione trigonometrica ${\displaystyle z=(\cos \left(0\right)+i*\sin \left(0\right))*p}$ ed in notazione esponenziale ${\displaystyle e^{\left(i*0\right)}*p}$.

Quindi ponendo 8 in notazione esponenziale come numero complesso si trovano le radici e cio' vale per qualsivoglia radica cubica.

ricordando: ${\displaystyle y=u+v\,}$.

[3] qui nuovamente riportata per semplicita'

${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt[{2}]{{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt[{2}]{{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}},\quad [3]}$.

fornisce 9 valori [combinando ogni singola radice di un radicando con le tre dell'altro radicando per l'incognita in quanto ogni radice cubica ne fornisce 3] e, fra questi nove valori, ne debbono essere scelti solo tre per il teorema fondamentale dell'algebra, si considerano validi unicamente quelli che soddisfano

${\displaystyle u*v=-{\frac {p}{3}}\,}$.

prendo il primo radicale fra quelli trovati e lo chiamo u1 poi calcolo:

${\displaystyle v1=-{\frac {p}{3*u1}}\,}$

inoltre ${\displaystyle y1=u1-{\frac {p}{3*u1}}\,}$ tratta dalla generica ${\displaystyle y=u+v\,}$.

NB: Prendo il primo radicale è in questo senso , i valori di u1 sono tre da considerare per cui se uno solo è reale debbo prendere quello in quanto mi fornirà l'unica soluzione reale in quanto v1 sarà reale pure lui conseguentemente e percio' ${\displaystyle y1=u1+v1\,}$ [1 nel senso di prima radice calcolata]sarà reale.

Non e' possibile trovare treradici reali s i radicandi della [3] sono reali in quanto la radice cubica di un numero reale ho solo una soluzione reale e due complesse coniugate per cui le soluzioni reali si troveranno quando i radicandi della [3] saranno nel campo complesso e questo è l'unico caso di tre soluzioni reali, per il teorema fondamentale dell'algebra non ho alternative le soluzioni reali sono una o tre perchè il teorema non ammette l'esistenza di una sola radice complessa in quanto se vi è radice complessa ${\displaystyle a+jb\,}$ esiste inequivocabilmente la sua coniugata ${\displaystyle a-jb\,}$;

Se vi è una sola radice reale e l'ho trovata posso passare ad un abbassamento di grado dal terzo al secondo dividendo la funzione di terzo grado da cui scaturisce l'equazione di terzo grado presa in considerazione per il binomio formato dalla differenza fra la incognia y e la radice trovata quindi avro' una funzione di secondo grado da cui scaturisce l'equazione di secondo grado che mi darà senza problemi le due radici complese coniugate.

NB:ricordo quanto gia' detto: il risultato di tre soluzioni per una radice cubica ${\displaystyle 8^{\frac {1}{3}}\,}$ notazione esponenziale per radice cubica presenta tre soluzioni:

${\displaystyle x_{1}=2\,}$

${\displaystyle x_{2}=2*(-1+{\frac {j(3^{\frac {1}{3}})}{2}})\,}$

${\displaystyle x_{3}=2*(-1-{\frac {j(3^{\frac {1}{3}})}{2}})\,}$

ottenute ricordanco che se ${\displaystyle z=x+iy\,}$ che in notazione trigonometrica si scrive ${\displaystyle z=(\cos \left(0\right)+i*\sin \left(0\right))*p}$ ed in notazione esponenziale ${\displaystyle e^{\left(i*0\right)}*p}$. Quindi ponendo ${\displaystyle z=8+i0\,}$ in notazione esponenziale si trovano le radici e cio' vale per qualsivoglia radica cubica.

in pratica il problema tramite l'abbassamento di grado ( se e solo i radicandi della [3] sono reali ) è risolto in maniera piuttosto semplice per cui iniziamo a discutere i vari casi ed il più complicato è quello con radicandi nel campo complesso che da le soluzioni tutte reali e che non permette soluzione tramite abbassamento di grado

${\displaystyle D=q^{\frac {2}{4}}+p^{\frac {3}{27}}}$.

Con D indico cio' che sta sotto la radice quadrata all'interno della radice cubica della [3]

${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt[{2}]{{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt[{2}]{{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}},\quad [3]}$.

tre soluzioni reali le avremo con [D] minore di zero e questo è il caso piu' complesso mentre invece avremo una soluzione reale e due complesse coniugate se [D] maggiore o uguale a zero e questo è per l'appunto il caso in cui l'abbassamento di grado per pervenire ad una equazione di secondo grado è la scorciatoia piu' facile --Lupo rosso

Poniamo D maggiore o uguale a zero da cui fra tutti radicali ce ne deve essere uno reale sempre per il teorema fondamentale dell'algebra per cui una radice reale della equazione di terzo grado devo averla , per quanto detto sulla radice cubica gli altri radicali saranno complessi per cui trovato ${\displaystyle u_{r}}$ radice cubica reale negativa utilizzando

${\displaystyle u*v=-{\frac {p}{3}},\quad [2]}$.

troveremo

${\displaystyle v_{r}}$ e sommandole avremo la radice reale dell'equazione di terzo grado

NBricordiamo adesso che la radice cubica di -1ha come tre risultati

${\displaystyle -1\,}$;

${\displaystyle (\cos \left({\frac {2\pi }{3}}\right)+i*\sin \left({\frac {2\pi }{3}}\right))}$;

e la sua complessa coniugata per forza esistente

${\displaystyle (\cos \left({\frac {2\pi }{3}}\right)-i*\sin \left({\frac {2\pi }{3}}\right))}$;

ci servirà quanto detto sopra per proseguire

cio' premesso calcoliamo le radici complesse di u

chiamando:

${\displaystyle Uc=(-{\frac {q}{2}}+D^{\frac {1}{2}})^{\frac {1}{3}}}$

che altro non è che la radice cubica reale del primo radicale di

${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt[{2}]{{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt[{2}]{{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}},\quad [3]}$.

avremo:

${\displaystyle u_{1}=|Uc|*(-{\frac {1}{2}}+j(3^{\frac {1}{3}}*{\frac {1}{2}}))}$

ed ${\displaystyle u_{2}=|Uc|*(-{\frac {1}{2}}-j(3^{\frac {1}{3}}*{\frac {1}{2}}))}$

chiamando

${\displaystyle Vc=(-{\frac {q}{2}}-D^{\frac {1}{2}})^{\frac {1}{3}}}$

che altro non è che la radice cubica reale del secondo radicale di

${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt[{2}]{{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt[{2}]{{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}},\quad [3]}$.

avremo

${\displaystyle v_{1}=|Vc|*(-{\frac {1}{2}}+j(3^{\frac {1}{3}}*{\frac {1}{2}}))}$

${\displaystyle v_{2}=|Vc|*(-{\frac {1}{2}}-j(3^{\frac {1}{3}}*{\frac {1}{2}}))}$

abbiamo 4 modi [in quanto abbiamo ${\displaystyle u_{1}\;,u_{2}\;,v_{1}\;,v_{2}\,}$ di fare ${\displaystyle u+v\,}$] e ne sceglieremo 2 ovvero quelli che soddisfano ${\displaystyle u*v=-{\frac {p}{3}},\quad [2]}$.

che saranno le radici complese coniugate cercate

${\displaystyle u_{r}}$ radice cubica reale positiva trovato ${\displaystyle v_{r}}$ e formata la soluzione completa ; come già detto il metodo più semplice è eseguire un abbasamento di grado pervenendo ad un equazione di secondo grado una volta calcolata la radice reale

le radici cubicche saranno complesse cio' signifiva u_1; u_2; u_3; v_1; v_2; v_3; ed essendo numeri complessi il metodo di calcolo migliore è quello di esprimerli tramite modulo ed angolo e non tramite notazione cartesiane a causa proprio della presenza di radici

${\displaystyle R=|-q/2+j*(-D)^{\frac {1}{2}}|}$

^[1]

e' il modulo nel piano complesso cartesiano del cosidetto vettore che indica il numeo complesso ; ${\displaystyle \varphi =\arctan {\frac {y}{x}}}$ e' l'angolo di inclinazione relativo all'asse X nel piano complesso cartesiano del cosidetto vettore che indica il numeo complesso ${\displaystyle z=R(\cos \varphi +i\sin \varphi )=Re^{i\varphi }}$

${\displaystyle u_{1}=Re^{(i/3)\varphi }}$

${\displaystyle u_{2}=Re^{((i+2*\pi )/3)\varphi }}$

${\displaystyle u_{3}=Re^{((i+4*\pi )/3)\varphi }}$

^[2]

${\displaystyle v_{1}=Re^{(i/3)\varphi }}$

${\displaystyle v_{2}=Re^{((i+2*\pi )/3)\varphi }}$

${\displaystyle v_{3}=Re^{((i+4*\pi )/3)\varphi }}$

con simboli semplificati

${\displaystyle u_{1}=Re,{i/3)\varphi }}$

${\displaystyle u_{2}=Re,{((i+2*\pi )/3)\varphi }}$

${\displaystyle u_{3}=Re,{((i+4*\pi )/3)\varphi }}$

^[4]

${\displaystyle v_{1}=Re,{i/3)\varphi }}$

${\displaystyle v_{2}=Re,{((i+2*\pi )/3)\varphi }}$

${\displaystyle v_{3}=Re,{((i+4*\pi )/3)\varphi }}$

ricordando ${\displaystyle y=u+v\,}$ le tre soluzioni saranno

${\displaystyle y_{1}\;,y_{2}\;,y_{3}\;,}$

${\displaystyle y_{1}=u_{1}+v_{1}\,}$

${\displaystyle y_{2}=u_{2}+v_{2}\,}$

${\displaystyle y_{3}=u_{3}+v_{3}\,}$ ^[5]

tutte e tre reali in quanto la somma di 2 numeri complessi coniugati è reale

e soddisfano la ${\displaystyle u*v=-{\frac {p}{3}},\quad [2]}$. in quanto il prodotto di 2 numeri complessi coniugati è reale e i casi suddetti sodisfano la condizione risolutiva --Lupo rosso (msg) 16:44, 28 lug 2009 (CEST)[rispondi]