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La moltiplicazione è una delle quattro operazioni fondamentali dell'aritmetica. È un modo rapido per rappresentare la somma di numeri uguali. Il risultato di una moltiplicazione è chiamato prodotto, mentre i due numeri moltiplicati sono detti fattori se considerati insieme, e rispettivamente moltiplicando e moltiplicatore se presi individualmente. È spesso indicata dal simbolo "per" a croce ×
, oppure dal punto a mezza altezza matematico ⋅
, o in ambito informatico dall'asterisco *
.
Notazione
[modifica | modifica wikitesto]Nella scrittura matematica, esistono due diversi simboli utilizzati per indicare la moltiplicazione: entrambe le seguenti notazioni significano "cinque moltiplicato per due volte" ed entrambe si leggono cinque per due:
Qualora i due moltiplicandi non siano scritti in cifre, e quindi non ci sia il rischio di equivoco, è possibile anche semplicemente giustapporli, come in:
anche per leggere queste formule vale lo stesso principio: se non c'è rischio di equivoco si può omettere il per, come nella prima (due zeta), altrimenti verrà detto, come nella seconda (due per, aperta parentesi, zeta più due, chiusa parentesi o due per, tra parentesi, zeta più due) o infine due che moltiplica zeta più due.
Nei linguaggi di programmazione e nelle calcolatrici, la moltiplicazione viene solitamente indicata con l'asterisco (*), grazie ad una consuetudine nata dal linguaggio di programmazione FORTRAN[senza fonte].
Definizione per numeri naturali
[modifica | modifica wikitesto]Dati due numeri interi positivi e , detto il primo "moltiplicando" ed il secondo "moltiplicatore", la definizione di moltiplicazione non è altro che:
ovvero "addizionare il numero per volte".[1][2]
Usando una formula più ristretta, con il simbolo di sommatoria:
Quindi, per esempio:
- 2 × 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
- 5 × 2 = 5 + 5 = 10
- 3 × 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12
- m × 6 = m + m + m + m + m + m
Data la proprietà commutativa della moltiplicazione (vedi più in basso), talvolta[3] si dà la seguente definizione (equivalente) di moltiplicazione:
Proprietà algebriche
[modifica | modifica wikitesto]A partire dalla definizione, si può dimostrare che la moltiplicazione ha le seguenti proprietà:
- Proprietà commutativa
- Non ha importanza l'ordine con cui vengono moltiplicati due numeri. Infatti, per ogni coppia di numeri x e y,
- Proprietà associativa
- Per ogni terna di numeri x, y e z,
- cioè non ha importanza l'ordine con cui vengono eseguite le operazioni se queste coinvolgono solo le moltiplicazioni.
- Proprietà distributiva rispetto all'addizione
- Si può "distribuire" la moltiplicazione ai vari addendi di una somma:
- Elemento neutro
- Ogni numero moltiplicato per 1 è pari a se stesso:
- Il numero 1 è detto anche elemento neutro per la moltiplicazione.
- Elemento zero
- La moltiplicazione di qualsiasi numero per zero ha zero come risultato:
- per un qualunque x.
- Questa definizione è coerente con la proprietà distributiva, infatti:
Per la moltiplicazione nel campo dei numeri razionali (v. sotto) vale anche
- Esistenza dell'inverso
- Qualsiasi numero x, ad eccezione dello zero, ha un inverso rispetto alla moltiplicazione, , cioè un numero definito in modo tale che:
La moltiplicazione con gli assiomi di Peano
[modifica | modifica wikitesto]Nel libro Arithmetices principia, nova methodo exposita, Giuseppe Peano propose un sistema assiomatico per i numeri naturali; due di questi assiomi riguardano la moltiplicazione:
Qui b' rappresenta l'elemento dei numeri naturali successivo di b. Con gli altri nove assiomi di Peano, è possibile provare le regole comuni della moltiplicazione, come la proprietà distributiva e associativa. I due assiomi elencati forniscono una definizione ricorsiva della moltiplicazione.
Numeri negativi e regola dei segni
[modifica | modifica wikitesto]Estendiamo l'operazione di moltiplicazione al caso dei numeri negativi, definendo quanto segue: dato x numero naturale
dove con − x si intende l'inverso additivo di x :
Da qui abbiamo che la moltiplicazione di interi qualunque si riduce alla moltiplicazione di interi positivi e di . Lo schema che ne deriva è detto regola dei segni:
- Il prodotto di due numeri positivi è un numero positivo:
- ovvero "più per più fa più".
- Il prodotto di un numero negativo per un numero positivo, o viceversa, è un numero negativo:
- ovvero "più per meno fa meno".
- Il prodotto di due numeri negativi è un numero positivo:
- ovvero "meno per meno fa più". [4]
Quest'ultima regola pratica ha un'interpretazione anche nella vita reale. Supponiamo di guadagnare m euro l'anno; tra n anni avremo mn euro (un numero positivo), mentre se questo guadagno era iniziato nel passato allora n anni fa (cioè "tra meno n anni") avevamo mn euro in meno (un numero negativo). Se invece perdessimo m euro l'anno (cioè guadagnassimo "meno m euro"), tra n anni ne avremo mn in meno, ma n anni fa ne avevamo mn in più di quanti ne abbiamo ora.
Numeri razionali, reali e complessi
[modifica | modifica wikitesto]La definizione di moltiplicazione si può infine estendere ai numeri razionali, ai numeri reali, e ai numeri complessi.
Per i numeri razionali abbiamo che
- ,
verificando che la definizione è indipendente dai rappresentanti scelti.
Per i numeri reali, una definizione di moltiplicazione si può ottenere prendendo il modello di numero reale come sezione di Dedekind: dati due numeri reali positivi, rappresentati come sezioni in campo razionale, moltiplicando (con opportuni accorgimenti) i minoranti tra loro e i maggioranti tra loro si ottiene ancora una sezione, che rappresenta il prodotto dei due numeri. La definizione si può poi estendere a tutti i numeri reali seguendo la regola dei segni indicata nella sezione precedente.
Per i numeri complessi, infine, si ha:
Computazione
[modifica | modifica wikitesto]- Metodi manuali:
- per moltiplicare due numeri con carta e penna, l'approccio più comune fa uso della tavola pitagorica, e di un algoritmo che ottiene il prodotto finale come somma di tanti prodotti di moltiplicazioni più semplici. Il tempo impiegato tramite questo metodo cresce con l'aumentare delle cifre dei numeri da moltiplicare; se si vuole risparmiare tempo, ed è sufficiente un risultato approssimato, si possono usare l'algoritmo di prostaferesi, o meglio ancora quello dei logaritmi.
- il supporto strumentale più antico è l'abaco che permette di ottenere risultati esatti. Risale al XV secolo il regolo calcolatore che dà risultati approssimati (ma è molto più rapido). Nel XX secolo, più per sfizio accademico che per reale necessità pratica, è stato progettato un regolo prostaferico
- nel 1962 il matematico russo Anatoly Karatsuba definisce il primo algoritmo per la moltiplicazione con complessità meno che quadratica; nel 1963 un altro russo, Andrei Toom, pone le basi per l'algoritmo di Toom-Cook, con complessità ancora inferiore.
- Metodi meccanici:
- Nel XVIII secolo Gottfried Leibniz perfeziona la pascalina aggiungendo la moltiplicazione alle funzioni disponibili.
- Metodi elettronici:
- Le moderne calcolatrici tascabili racchiudono la logica degli algoritmi in un microchip.
- Una panoramica dei modi per implementare informaticamente la moltiplicazione è disponibile su questa pagina.
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ Moltiplicazione, in Treccani.it – Enciclopedie on line, Roma, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
- ^ Moltiplicazione, in Sapere.it, De Agostini.
- ^ In special modo nella letteratura anglosassone dove 2 x 5 si legge: "two times five"
- ^ Helmut Seiffert, 3, in LE BASI DELLA MATEMATICA MODERNA numeri e insiemi, Arnoldo Mondadori, Marzo 1976, pp. 85-89.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]- Addizione
- Differenza
- Divisione (matematica)
- Elevamento a potenza
- Elemento inverso
- Produttoria
- Prodotto vuoto
- Moltiplicazione (musica)
Altri progetti
[modifica | modifica wikitesto]Wikizionario contiene il lemma di dizionario «moltiplicazione»
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla moltiplicazione
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- moltiplicazione, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
- Moltiplicazione, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.
- Moltiplicazióne, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
- moltiplicazióne, su sapere.it, De Agostini.
- Moltiplicazione, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
- (EN) multiplication, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Opere riguardanti Multiplication, su Open Library, Internet Archive.
- (EN) Eric W. Weisstein, Moltiplicazione, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Multiplication, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
Controllo di autorità | Thesaurus BNCF 37024 · LCCN (EN) sh85088381 · GND (DE) 4170732-1 · BNF (FR) cb11976399g (data) · J9U (EN, HE) 987007550960505171 · NDL (EN, JA) 00575007 |
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