Processo gaussiano

In teoria delle probabilità un processo gaussiano è un processo stocastico f(x), ossia una collezione di variabili aleatorie indicizzate (in base al tempo o allo spazio), tale che ogni insieme finito di tali variabili abbia una distribuzione di probabilità gaussiana multivariata.

La distribuzione del processo gaussiano è la distribuzione congiunta di tutte le sue (infinite) variabili e, come tale, è una distribuzione su funzioni dal dominio continuo (ad es. il tempo o lo spazio). Quindi un processo gaussiano può essere considerato la generalizzazione a dimensioni infinite della distribuzione normale multivariata.

Definizione

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Un processo gaussiano è specificato interamente dalla sua media $m_{f}$ (x) e dalla covarianza $k_{f}$ (x,x'), e viene indicato nel modo seguente:

\operatorname {f} (\mathbf {x} )\sim {\mathcal {N}}(m_{f}(\mathbf {x} ),k_{f}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} '))

Talvolta si assume che la media sia pari a zero e spesso si sceglie come insieme indice quello temporale cosicché il processo gaussiano risulti definito sul tempo ^[1]. Accade di frequente nell'ambito delle telecomunicazioni, dove vari segnali vengono interpretati come processi gaussiani (ad esempio il rumore gaussiano).

Alcune applicazioni

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Un processo gaussiano può essere usato come distribuzione di probabilità a priori sulle funzioni nell'inferenza bayesiana. L'inferenza per valori continui che fa uso di processi gaussiani è nota come regressione gaussiana e trova utilizzo in svariati campi, dall'automazione alla geostatistica (Kriging). I processi gaussiani sono, inoltre, un potente strumento per l'interpolazione non lineare.

Nell'ambito dell'apprendimento supervisionato, i processi gaussiani sono impiegati in metodi non parametrici basati su kernel utili a risolvere problemi di classificazione e regressione.^[2]

Note

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^ David J. C. MacKay, Information theory, inference, and learning algorithms, 22nd printing, Cambridge University Press, 2003, p. 540, ISBN 978-0-521-64298-9.
^ Kevin P. Murphy, Probabilistic machine learning: an introduction, collana Adaptive computation and machine learning, The MIT Press, 2022, p. 574, ISBN 978-0-262-04682-4.

Bibliografia

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(EN) C.E. Rasmussen, C.K.I Williams, Gaussian Processes for Machine Learning, MIT Press, 2006, ISBN 0-262-18253-X.
(EN) N. Benvenuto, R. Corvaja; T. Erseghe; N. Laurenti, Communication Systems: Fundamentals and Design Methods, Wiley, 2007, ISBN 0-470-01822-4.

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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The Gaussian Processes Web Site, su GaussianProcess.org.
Classificazione e regressione basate su processi gaussiani in Scikit-Learn

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 45384 · LCCN (EN) sh85053558 · BNF (FR) cb119469389 (data) · J9U (EN, HE) 987007560462305171 · NDL (EN, JA) 01180243

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[1] David J. C. MacKay, Information theory, inference, and learning algorithms, 22nd printing, Cambridge University Press, 2003, p. 540, ISBN 978-0-521-64298-9.

[2] Kevin P. Murphy, Probabilistic machine learning: an introduction, collana Adaptive computation and machine learning, The MIT Press, 2022, p. 574, ISBN 978-0-262-04682-4.

[1]

[2]

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