In matematica, più precisamente in algebra lineare, una forma bilineare è una mappa bilineare a valori in un campo. Si tratta di una funzione definita sul prodotto cartesiano di due spazi vettoriali che è lineare in entrambe le componenti.
Definizione
[modifica | modifica wikitesto]Siano e spazi vettoriali su e il loro prodotto cartesiano. Una forma bilineare sul campo è una mappa
che associa ad ogni coppia di elementi e lo scalare ed è lineare su entrambe le componenti, cioè:[1]
Fissato uno dei due argomenti, la funzione è lineare rispetto all'altro.
Se e coincidono, la forma si dice bilineare su (o su ).[2]
Rappresentazione in coordinate
[modifica | modifica wikitesto]Se ha dimensione n finita, ogni forma bilineare su può essere rappresentata come una matrice quadrata con n righe. Come per le applicazioni lineari, per fare ciò è necessario scegliere una base per , in quanto la matrice risultante dipende dalla base scelta.
La matrice è definita per componenti da:
L'azione della forma bilineare su due vettori e di si ricava nel modo seguente, tramite moltiplicazione tra matrici:
dove e sono le coordinate di e rispetto alla base.
Relazione con lo spazio duale
[modifica | modifica wikitesto]Ogni forma bilineare su definisce una coppia di mappe lineari da nel suo spazio duale . Si definiscano nel modo seguente:
In altre parole, è l'elemento di che manda in .
Per denotare la posizione dell'argomento nella mappa lineare risultante, si usa la notazione:
Ogni mappa lineare definisce analogamente una funzione bilineare:
Forme simmetriche e antisimmetriche
[modifica | modifica wikitesto]Una forma bilineare è detta simmetrica se:[3]
per ogni e in . È invece detta antisimmetrica o alternante se:
- .
Una forma bilineare è simmetrica se e solo se la matrice associata (rispetto ad una base qualsiasi) è simmetrica, ed è antisimmetrica se e solo se la matrice associata è antisimmetrica.
Se la forma bilineare è simmetrica, le due mappe e definite sopra coincidono.
Se non ha caratteristica 2, allora una caratterizzazione equivalente di una forma antisimmetrica è:
per ogni . In caso contrario, la condizione precedente è solo sufficiente.
Prodotto scalare
[modifica | modifica wikitesto]Una forma bilineare simmetrica è spesso chiamata prodotto scalare.[3] Altri autori definiscono invece il prodotto scalare come una forma bilineare simmetrica a valori nel campo dei numeri reali che sia definita positiva, ovvero con per ogni diverso da zero, e .
Forma degenere
[modifica | modifica wikitesto]Una forma bilineare definita su uno spazio di dimensione finita è degenere se la matrice che la rappresenta rispetto ad una base ha determinante nullo. Altrimenti, è detta non degenere. La definizione non dipende dalla base scelta per rappresentare la forma come matrice.
I fatti seguenti sono equivalenti:
- La forma bilineare è degenere.
- Esiste un vettore non nullo tale che per ogni .
- Esiste un vettore non nullo tale che per ogni .
Esempi
[modifica | modifica wikitesto]- Il prodotto scalare canonico fra vettori del piano o dello spazio euclideo è una forma bilineare simmetrica.
- Sia lo spazio vettoriale delle funzioni continue sull'intervallo , a valori reali. Un esempio di forma bilineare simmetrica definita su è data da:
Note
[modifica | modifica wikitesto]Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]Altri progetti
[modifica | modifica wikitesto]Wikiversità contiene risorse sulla forma bilineare
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla forma bilineare
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Eric W. Weisstein, Forma bilineare, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Forma bilineare, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
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