Teorema del rango

In algebra lineare, il teorema del rango, detto anche teorema di nullità più rango, o teorema della dimensione, afferma che la somma tra la dimensione dell'immagine e la dimensione del nucleo di una trasformazione lineare è uguale alla dimensione del dominio di tale trasformazione lineare; equivalentemente, la somma del rango e della nullità di una matrice è uguale al numero di colonne della matrice.

Il teorema vale nel contesto delle trasformazioni lineari fra spazi vettoriali, con l'ipotesi che lo spazio vettoriale di partenza abbia dimensione finita.

Data una applicazione lineare fra spazi vettoriali:

${\displaystyle f\colon \ V\to W}$

il teorema stabilisce che vale la relazione:^[1]

${\displaystyle \dim \operatorname {Im} (f)+\dim \operatorname {Ker} (f)=n}$

dove ${\displaystyle {\textrm {Im}}(f)}$ e ${\displaystyle {\textrm {Ker}}(f)}$ sono rispettivamente l'immagine e il nucleo di ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle n}$ è la dimensione di ${\displaystyle V}$.

In modo equivalente, se ${\displaystyle A}$ è una matrice ${\displaystyle m\times n}$ allora:

${\displaystyle \operatorname {rk} (A)+\operatorname {null} (A)=n}$

Dove ${\displaystyle \operatorname {rk} (A)}$ indica il rango di ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle \operatorname {null} (A)}$ indica la nullità di ${\displaystyle A}$, cioè la ${\displaystyle \dim \operatorname {Ker} (A)}$, o indice di nullità.

L'equivalenza degli enunciati deriva dal fatto che ogni applicazione lineare ${\displaystyle f\colon \ \mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{m}}$, con ${\displaystyle \mathbb {K} }$ campo arbitrario, può essere scritta, passando in coordinate rispetto a due basi fissate, nel seguente modo: ^[2]

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} ,}$

dove ${\displaystyle A}$ è la matrice di trasformazione associata ad ${\displaystyle f}$ rispetto a due date basi dei due spazi vettoriali.

Il nucleo di ${\displaystyle f}$ è lo spazio delle soluzioni del sistema di equazioni lineari omogeneo associato alla matrice ${\displaystyle A}$, mentre l'immagine è lo spazio generato dalle sue colonne ${\displaystyle A^{1},\ldots ,A^{n}}$.^[3]

Poiché ${\displaystyle V}$ ha dimensione finita, il sottospazio vettoriale ${\displaystyle {\textrm {Ker}}(f)}$ ha anch'esso dimensione finita. Il nucleo ha quindi una base:

${\displaystyle B=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{r})}$

Per il teorema della base incompleta esistono ${\displaystyle \mathbf {v} _{r+1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}$ tali che:

${\displaystyle B'=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{r},\mathbf {v} _{r+1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}$

sia una base di ${\displaystyle V}$. Per concludere è sufficiente mostrare che i vettori:

${\displaystyle f(\mathbf {v} _{r+1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})}$

formano una base di ${\displaystyle {\textrm {Im}}(f)}$. L'immagine è generata dai vettori:

${\displaystyle f(\mathbf {v} _{1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{r}),f(\mathbf {v} _{r+1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})}$

I primi ${\displaystyle r}$ vettori sono però nulli (per definizione di Ker), quindi l'immagine è generata dagli ultimi ${\displaystyle n-r}$ vettori:

${\displaystyle f(\mathbf {v} _{r+1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})}$

Resta quindi da verificare l'indipendenza lineare di questi vettori. Si suppone quindi data una combinazione lineare nulla:

${\displaystyle \lambda _{r+1}f(\mathbf {v} _{r+1})+\ldots +\lambda _{n}f(\mathbf {v} _{n})=0}$

Per linearità si ottiene:

${\displaystyle f(\lambda _{r+1}\mathbf {v} _{r+1}+\ldots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})=0}$

Quindi:

${\displaystyle \lambda _{r+1}\mathbf {v} _{r+1}+\ldots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}\in \operatorname {Ker} (f)}$

Poiché questo vettore sta nel nucleo, è esprimibile come combinazione lineare dei vettori ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{r}}$:

${\displaystyle \lambda _{r+1}\mathbf {v} _{r+1}+\ldots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}=\alpha _{1}\mathbf {v} _{1}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {v} _{r}}$

In altre parole:

${\displaystyle -\alpha _{1}\mathbf {v} _{1}-\ldots -\alpha _{n}\mathbf {v} _{r}+\lambda _{r+1}\mathbf {v} _{r+1}+\ldots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}=0}$

Poiché ${\displaystyle (\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}$ è una base di ${\displaystyle V}$, tutti i coefficienti qui presenti sono nulli. In particolare, ${\displaystyle \lambda _{j}=0}$ per ogni ${\displaystyle j}$.

Quindi i vettori ${\displaystyle f(\mathbf {v} _{r+1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})}$ sono effettivamente indipendenti. L'immagine ha quindi dimensione ${\displaystyle n-r}$. Pertanto:

${\displaystyle \dim(\operatorname {Im} (f))=n-r=\dim(V)-\dim(\operatorname {Ker} (f))}$

Il teorema del rango può essere visto come corollario al primo teorema di isomorfismo:

${\displaystyle V/\operatorname {Ker} f\cong \operatorname {Im} f}$

dove ${\displaystyle f}$ è un omomorfismo di gruppi (in particolare, di spazi vettoriali) che agisce su ${\displaystyle V}$. Si ha infatti:

${\displaystyle \dim(V/\operatorname {Ker} f)=\dim(\operatorname {Im} f)}$

${\displaystyle \dim(V)-\dim(\operatorname {Ker} f)=\dim(\operatorname {Im} f)}$

che è l'asserto del teorema.

Data un'applicazione lineare ${\displaystyle f\colon V\to W,}$ con ${\displaystyle \dim(V)=n}$ e ${\displaystyle \dim(W)=m,}$ essa è:

• iniettiva se e solo se ${\displaystyle \dim \operatorname {Ker} (f)=0;}$
• suriettiva se e solo se ${\displaystyle \dim \operatorname {Im} (f)=m;}$
• biiettiva se ${\displaystyle m=n}$ e sono verificate entrambe le precedenti condizioni.

Ne segue quindi che, se ${\displaystyle m=n}$, l'applicazione lineare è iniettiva se e solo se è suriettiva.

Inoltre, in base alle dimensioni ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$, si ha che:

• se ${\displaystyle n>m,}$ l'applicazione lineare non sarà mai iniettiva, poiché ${\displaystyle \dim \operatorname {Ker} (f)>0;}$
• se ${\displaystyle n<m,}$ l'applicazione lineare non sarà mai suriettiva, poiché ${\displaystyle \dim \operatorname {Im} (f)<m.}$

Supponiamo il caso particolare in cui l'applicazione lineare è un endomorfismo, cioè una applicazione lineare ${\displaystyle f\colon V\to V}$ dallo spazio ${\displaystyle V}$ in sé stesso. La relazione appena dimostrata:

${\displaystyle \dim \operatorname {Im} (f)+\dim \operatorname {Ker} (f)=n}$

dice che l'iniettività e la suriettività dell'applicazione si implicano a vicenda.

Nel caso infinito questo cessa di essere vero. Ad esempio, considerando:

${\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }:=\{(x_{1},x_{2},\dots )\quad x_{i}\in \mathbb {R} \quad \forall i\in \mathbb {N} \}}$

come spazio vettoriale su ${\displaystyle \mathbb {R} }$ e l'applicazione ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{\infty }\to \mathbb {R} ^{\infty }}$ che agisce "spostando" in avanti le coordinate e mettendo lo zero in prima posizione, cioè:

${\displaystyle \displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )\to (0,x_{1},x_{2},\dots )}$

è immediato mostrare che tale applicazione è lineare e iniettiva, ma banalmente non suriettiva.

In linguaggio più moderno, il teorema può essere espresso nel seguente modo. Se:

${\displaystyle \displaystyle \ 0\rightarrow U\rightarrow V\rightarrow R\rightarrow 0}$

è una successione esatta corta di spazi vettoriali, allora:

${\displaystyle \displaystyle \ \dim(U)+\dim(R)=\dim(V)}$

Qui ${\displaystyle R}$ gioca il ruolo di ${\displaystyle \operatorname {Im} T}$ e ${\displaystyle U}$ è ${\displaystyle \operatorname {ker} T}$.

Nel caso finito-dimensionale questa formulazione è suscettibile di generalizzazione. Se:

${\displaystyle \displaystyle \ 0\rightarrow V_{1}\rightarrow V_{2}\rightarrow \dots \rightarrow V_{r}\rightarrow 0}$

è una successione esatta di spazi vettoriali a dimensioni finite, allora:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{r}(-1)^{i}\dim(V_{i})=0}$

Il teorema del rango per gli spazi vettoriali di dimensione finita può anche essere formulato in termini degli indici di una mappa lineare. L'indice di una mappa lineare ${\displaystyle T\colon V\to W}$, dove ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ sono di dimensione finita, è definito da:

${\displaystyle \operatorname {index} T=\dim(\operatorname {ker} T)-\dim(\operatorname {coker} T)}$

Intuitivamente, ${\displaystyle \dim \operatorname {ker} T}$ è il numero di soluzioni indipendenti ${\displaystyle x}$ dell'equazione ${\displaystyle Tx=0}$, e ${\displaystyle \dim \operatorname {coker} T}$ è il numero di restrizioni indipendenti che devono essere poste su ${\displaystyle y}$ per rendere ${\displaystyle Tx=y}$ risolvibile. Il teorema del rango per gli spazi vettoriali di dimensione finita è equivalente all'espressione:

${\displaystyle \operatorname {index} T=\dim(V)-\dim(W)}$

Si vede che possiamo facilmente leggere l'indice della mappa lineare ${\displaystyle T}$ dagli spazi coinvolti, senza la necessità di esaminare ${\displaystyle T}$ in dettaglio. Questo effetto si trova anche in un risultato molto più profondo: il teorema dell'indice di Atiyah-Singer afferma che l'indice di determinati operatori differenziali può essere letto dalla geometria degli spazi coinvolti.

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
• Philippe Ellia, Appunti di Geometria I, Bologna, Pitagora Editrice, 1997. ISBN 88-3710958-X
• (EN) Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 2000, ISBN 978-0-89871-454-8.

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• Nucleo (matematica)
• Rango (algebra lineare)
• Trasformazione lineare

• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema del rango, su MathWorld, Wolfram Research.

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