Equazioni di Hamilton

Le equazioni di Hamilton, nella fisica e in particolare nella riformulazione della meccanica classica sviluppata dalla meccanica hamiltoniana, sono l'equazione del moto per un sistema fisico, scritta a partire da una funzione chiamata hamiltoniana. Determinano l'evoluzione temporale del sistema dinamico in modo equivalente alla legge di Newton e alle equazioni di Eulero-Lagrange, di cui sono una riscrittura ottenuta in seguito ad un particolare cambio di variabili.

L'hamiltoniana ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}$ di un sistema dinamico è una funzione definita nello spazio delle fasi ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ composto dalle coordinate generalizzate ${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},\dots q_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ e dai rispettivi momenti coniugati:

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}}$

dove ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}$ è la lagrangiana. L'hamiltoniana viene solitamente associata all'energia totale del sistema, somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale. In alcuni casi, per esempio quando agiscono forze non conservative, è necessario fare uso dei cosiddetti potenziali generalizzati e l'hamiltoniana perde il significato fisico di energia totale del sistema.

Le equazioni di Hamilton sono un sistema di equazioni differenziali che forniscono l'evoluzione temporale del sistema:^[1][2]

${\displaystyle {\dot {p}}_{j}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{j}}}\qquad {\dot {q}}_{j}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{j}}}}$

ovvero:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {p} (t)=-{\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} }}{\mathcal {H}}(\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t),t)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {q} (t)={\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}{\mathcal {H}}(\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t),t)}$

Le equazioni di Hamilton sono simmetriche rispetto a ${\displaystyle p_{j}=p_{j}(t)}$ e ${\displaystyle q_{j}=q_{j}(t)}$, e pertanto scambiare ${\displaystyle \pm q}$ con ${\displaystyle \mp p}$ e ${\displaystyle \pm {\dot {q}}}$ con ${\displaystyle \mp {\dot {p}}}$ le lascia invariate.

Dato un sistema che ha n gradi di libertà descritto da una lagrangiana ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}$, l'equazione di Newton per il suo moto è equivalente alle equazioni di Eulero-Lagrange:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}=0}$

Si può formulare lo stesso problema prendendo come variabili indipendenti le coordinate generalizzate ${\displaystyle q_{1},\dots ,q_{n}}$ ed i momenti generalizzati ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},\dots ,p_{n})}$, definiti da ${\displaystyle p_{i}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}_{i}}$. In tale contesto, la trasformata di Legendre della Lagrangiana produce la funzione hamiltoniana:

${\displaystyle {\mathcal {\mathcal {H}}}=\sum _{i}{{\dot {q}}_{i}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{{\dot {q}}_{i}}p_{i}-{\mathcal {L}}}$

In una dimensione la trasformata si ottiene scrivendo il differenziale di ${\displaystyle {\mathcal {L}}(q,{\dot {q}},t)}$:

${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q}}\mathrm {d} q+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}}}\mathrm {d} {\dot {q}}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t={\dot {p}}\mathrm {d} q+p\mathrm {d} {\dot {q}}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t={\dot {p}}\mathrm {d} q+(\mathrm {d} ({\dot {q}}p)-{\dot {q}}\mathrm {d} p)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

da cui:

${\displaystyle \mathrm {d} ({\dot {q}}p-{\mathcal {L}})=-{\dot {p}}\mathrm {d} q+{\dot {q}}\mathrm {d} p-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

La lagrangiana viene così trasformata in un'altra equazione dipendente esplicitamente dalla sua derivata rispetto a ${\displaystyle \mathbf {q} }$, cioè da ${\displaystyle \mathbf {p} }$.

Dato il differenziale di ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}$:

${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {H}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q}}\mathrm {d} q+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}\mathrm {d} p+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

confrontandolo con la precedente espressione della trasformata di Legendre:

${\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {\dot {q}} (t)\mathbf {p} (t)-{\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)}$

si ottengono le equazioni di Hamilton:

${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} ={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p} }}\qquad \mathbf {\dot {p}} =-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {q} }}}$

Se una coordinata è una coordinata ciclica per la lagrangiana, ovvero è una coordinata da cui la lagrangiana non dipende direttamente, allora essa è ciclica anche per l'Hamiltoniana. In particolare se lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo allora ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ stessa è una costante del moto:

${\displaystyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}=0}$

Lo stesso argomento in dettaglio: Principio variazionale di Hamilton.

Le equazioni di Hamilton si possono ricavare dal principio variazionale di Hamilton (principio di minima azione):

${\displaystyle \delta I=\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}\,dt=\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}\,p_{i}-{\mathcal {H}}(q,p,t)\right)\,dt=0}$

dove l'integrale della lagrangiana nel tempo è l'azione:

${\displaystyle I=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}\,dt}$

Il principio stabilisce che il moto del sistema tra gli istanti iniziale ${\displaystyle t_{1}}$ e finale ${\displaystyle t_{2}}$ deve rendere stazionario l'integrale variazionale azione tra ${\displaystyle t_{1}}$ e ${\displaystyle t_{2}}$, il che significa che l'azione ha un estremo in corrispondenza della traiettoria seguita dal sistema, tra tutte quelle possibili nell'intervallo di tempo considerato.

• G. Benettin, Appunti per il corso di meccanica analitica (PDF), Padova, 2014 (archiviato dall'url originale il 29 novembre 2014).
• (IT) G. Andreassi Meccanica Hamiltoniana classica Archiviato il 22 giugno 2008 in Internet Archive. Quaderni del Dipartimento di Matematica dell'Università di Lecce, 14/1978.
• (IT) A. Fasano, S. Marmi, Meccanica Analitica, (2002) Bollati Boringhieri, Torino ISBN 88-339-5681-4
• (EN) Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X
• (EN) Edmund T. Whittaker A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies; with an introduction to the problem of three bodies (Cambridge University Press, 1917)
• (EN) William Fogg Osgood Mechanics (MacMillan, 1937)
• (EN) Arthur Gordon Webster The dynamics of particles and of rigid, elastic, and fluid bodies. Being lectures on mathematical physics (Teubner, 1904)

• Costante del moto
• Calcolo delle variazioni
• Lagrangiana
• Meccanica hamiltoniana
• Meccanica lagrangiana
• Metodo variazionale
• Principio di Fermat
• Principio di Maupertuis
• Principio variazionale di Hamilton
• Teoria di Hamilton-Jacobi
• Trasformata di Legendre
• William Rowan Hamilton

• (EN) Hamilton’s equations, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Equazioni di Hamilton, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) 16.3 The Hamiltonian, in MIT OpenCourseWare website 18.013A. URL consultato il febbraio 2007.
• (EN) Charles Torre - The Hamiltonian Formalism (PDF), su physics.usu.edu.
• (EN) Joel Shapiro - Lagrange's and Hamilton's Equations (PDF), su physics.rutgers.edu.
• (EN) Rychlik, Marek, "Lagrangian and Hamiltonian mechanics -- A short introduction"
• (EN) Binney, James, "Classical Mechanics" (PostScript) lecture notes (PDF)
• (EN) Tong, David, Classical Dynamics (Cambridge lecture notes)

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