Distribuzione normale inversa

In teoria delle probabilità la distribuzione normale inversa (o gaussiana inversa) è una distribuzione di probabilità continua dipendente da due parametri definita sui numeri reali positivi. È usata tra l'altro nel Modello lineare generalizzato.

Una distribuzione normale inversa con parametri ${\displaystyle \lambda >0}$ e ${\displaystyle \mu >0}$ ha come funzione di densità di probabilità

${\displaystyle f(x)=\left({\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}e^{\displaystyle -{\frac {\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}}}$

per x > 0.

Il valore atteso di una variabile casuale normale inversa X è

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu }$.

La varianza è

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}}$.

per cui la deviazione standard

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}}}$

e il coefficiente di variazione è

${\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {\mu }{\lambda }}}}$.

Il coefficiente di asimmetria viene indicato con

${\displaystyle \operatorname {v} (X)=3{\sqrt {\frac {\mu }{\lambda }}}}$.

La funzione caratteristica è data da

${\displaystyle \phi _{X}(s)=e^{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}is}{\lambda }}}}\right)}}$.

mentre la funzione generatrice dei momenti della v.c. normale inversa è

${\displaystyle m_{X}(s)=e^{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}s}{\lambda }}}}\right)}}$.

Siano ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ tutte variabili casuali distribuite come una normale inversa con i parametri ${\displaystyle \lambda }$ e ${\displaystyle \mu }$, allora la loro media ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}}$ è nuovamente una v.c. normale inversa, ma con i parametri ${\displaystyle n\lambda }$ e ${\displaystyle \mu }$.

• Distribuzione normale

• (EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione normale inversa, su MathWorld, Wolfram Research.

Portale Matematica

Portale Statistica