Teorema del confronto di Sturm-Picone
In matematica, nel campo delle equazioni differenziali ordinarie, il teorema del confronto di Sturm–Picone, che prende nome da Jacques Sturm e Mauro Picone, è un noto teorema che permette di ricavare informazioni sul comportamento delle soluzioni di equazioni differenziali lineari confrontandole con le soluzioni di equazioni simili.
Il teorema
[modifica | modifica wikitesto]Siano , , e funzioni continue a valori reali definite nell'intervallo , e siano:
due equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine, scritte in forma autoaggiunta con:
Sia una soluzione non-banale della prima equazione avente due radici successive in e . Sia, inoltre, una soluzione non-banale della seconda. Allora vale una delle seguenti proprietà:
- Esiste tale che
- Esiste tale che .
La prima parte della tesi venne dimostrata da Sturm, nel 1836[1]. L'enunciato completo è dovuto a Picone (1910)[2][3], la cui semplice dimostrazione si basa sull'utilizzo dell'identità di Picone. Nel caso particolare in cui le due equazioni siano identiche si ottiene il teorema di separazione di Sturm. Il teorema è stato poi esteso a sistemi di equazioni ordinarie e a equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo ellittico.
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ C. Sturm, Mémoire sur les équations différentielles linéaires du second ordre, J. Math. Pures Appl. 1 (1836), 106–186
- ^ Mauro Picone, Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un’equazione differenziale lineare del secondo ordine, in Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, vol. 11, 1910, pp. 1–141.
- ^ DOI: 10.1007/3-7643-7359-8_1
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Diaz, J. B.; McLaughlin, Joyce R. Sturm comparison theorems for ordinary and partial differential equations. Bull. Amer. Math. Soc. 75 1969 335–339 pdf
- (EN) Heinrich Guggenheimer (1977) Applicable Geometry, page 79, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1 .
- (EN) Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, American Mathematical Society, 2011.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Boris Belinskiy, John R. Graef, Sonja Petrovic - A Nonlinear Sturm–Picone Comparison Theorem for Dynamic Equations on Time Scales (PDF), su ripublication.com.