In analisi matematica, nel settore delle equazioni differenziali ordinarie, l'identità di Picone, il cui nome si deve a Mauro Picone, è un risultato considerato classico per le equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine. È utile per studiare le oscillazioni delle loro soluzioni, ma è stata generalizzata per altri tipi di equazioni differenziali e di equazioni alle differenze.
L'identità di Picone serve per dimostrare il teorema del confronto di Sturm-Picone.
Enunciato
[modifica | modifica wikitesto]Si supponga che e siano le soluzioni di due equazioni differenziali omogenee lineari del secondo ordine, scritte in forma autoaggiunta:
e:
Allora, per ogni tale che , vale la seguente identità:
Dimostrazione
[modifica | modifica wikitesto]Basta svolgere i calcoli:
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- Mauro Picone, Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un’equazione differenziale lineare del secondo ordine, in Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, vol. 11, 1910, pp. 1–141.
- (EN) Charles A. Swanson, Picone's Identity, in Rendiconti di Matematica, vol. 8, n. 2, 1975, pp. 373-397.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- Ondřej Došlý The Picone identity for a class of partial differential equations (PDF), su dml.cz. URL consultato il gennaio 2016.
- W. Kratz e A. Peyerimhoff, A Treatment of Sturm-Liouville Eigenvalue Problems via Picone's Identity in Analysis. Volume 5, Issue 1-2, Pages 97–152 (giugno 1985) (XML), su degruyter.com. URL consultato il gennaio 2016.