Precessione di Larmor

In meccanica quantistica e fisica atomica, la precessione di Larmor, il cui nome è dovuto a Joseph Larmor, è la precessione dei momenti magnetici degli elettroni o dei nuclei atomici in un atomo attorno alla direzione di un campo magnetico esterno omogeneo.

Il campo magnetico ${\displaystyle \mathbf {B} }$ esercita un momento meccanico ${\displaystyle \mathbf {M} }$ dato dal prodotto vettoriale:

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {\mu } \times \mathbf {B} =\gamma \mathbf {L} \times \mathbf {B} }$

dove ${\displaystyle \mathbf {\mu } }$ è il momento di dipolo magnetico, ${\displaystyle \mathbf {L} }$ è il momento angolare e ${\displaystyle \gamma }$ è il rapporto giromagnetico, che fornisce la costante di proporzionalità tra momento angolare e momento magnetico.

La precessione di Larmor fornisce un semplice modello teorico che permette di spiegare il diamagnetismo. Inoltre, ha un importante impiego tecnologico nella risonanza magnetica nucleare: per il nucleo di idrogeno, il più usato per questo scopo, il valore del rapporto giromagnetico ${\displaystyle \gamma }$ è di 42.5756*10^6 (rad/s)/T.

Il vettore del momento angolare precede sull'asse del campo magnetico esterno con una frequenza angolare nota come frequenza di Larmor:

${\displaystyle \omega =-\gamma B}$

Il campo magnetico esercita un momento meccanico, producendo un moto giroscopico (come una trottola). La frequenza della precessione si dice frequenza di Larmor, e dipende dal campo di induzione magnetica ${\displaystyle \mathbf {B} }$ e dal momento magnetico ${\displaystyle \mathbf {\mu } =\gamma \mathbf {L} }$. Essa equivale a:

${\displaystyle \nu _{L}=-{\frac {\gamma B}{2\pi }}}$

Il momento meccanico ${\displaystyle \mathbf {M} }$ cui è sottoposto un momento magnetico ${\displaystyle \mathbf {\mu } }$ in un campo di induzione magnetica omogeneo ${\displaystyle \mathbf {B} }$ è dato da:

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {\mu } \times \mathbf {B} =\gamma \mathbf {L} \times \mathbf {B} =-\gamma \mathbf {B} \times \mathbf {L} }$

poiché in generale si può scrivere il momento magnetico come il prodotto del momento angolare ${\displaystyle \mathbf {L} }$ per il fattore giromagnetico ${\displaystyle \gamma }$:

${\displaystyle \mathbf {\mu } =\gamma \mathbf {L} }$

In base alla seconda equazione cardinale il momento meccanico si può scrivere come:

${\displaystyle \mathbf {M} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}}$

avendo supposto la velocità del polo nulla (l'atomo è fermo). La derivata di un vettore a modulo costante, come il momento angolare in questo caso, è:

${\displaystyle \mathbf {M} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {\omega } _{L}\times \mathbf {L} }$

La velocità angolare ${\displaystyle \mathbf {\omega } _{L}}$ a cui il momento magnetico precede attorno alla direzione del campo è:

${\displaystyle \mathbf {\omega } _{L}=-\gamma \mathbf {B} }$

e la rispettiva frequenza di Larmor:

${\displaystyle \nu _{L}={\frac {\omega _{L}}{2\pi }}=-{\frac {\gamma B}{2\pi }}}$

Considerando una particella di carica ${\displaystyle e}$ di massa ${\displaystyle m}$, si ha:

${\displaystyle \omega ={\frac {egB}{2m}}}$

dove ${\displaystyle g}$ è il fattore-g dell'oggetto considerato. Nel caso di un nucleo, esso tiene conto degli effetti dello spin dei nucleoni, del loro momento angolare orbitale e dell'accoppiamento tra di essi.

Lo stesso argomento in dettaglio: Precessione di Thomas.

Un trattamento completo del fenomeno deve includere gli effetti della precessione di Thomas, in seguito ai quali la precedente equazione acquista un termine aggiuntivo:

${\displaystyle \omega _{s}={\frac {geB}{2mc}}+(1-\gamma ){\frac {eB}{mc\gamma }}}$

dove ${\displaystyle \gamma }$ è il fattore di Lorentz. Per l'elettrone ${\displaystyle g}$ è molto vicino a 2 (2.002..), e ponendo ${\displaystyle g=2}$ si ha:

${\displaystyle \omega _{s(g=2)}={\frac {eB}{mc\gamma }}}$

La precessione dello spin di un elettrone in un campo magnetico omogeneo è descritta dall'equazione di Bargmann–Michel–Telegdi, detta talvolta equazione BMT:^[1]

${\displaystyle {\frac {dA^{\tau }}{ds}}={\frac {e}{m}}U^{\tau }U_{\sigma }F^{\sigma \lambda }A_{\lambda }+2\mu (F^{\tau \lambda }-U^{\tau }U_{\sigma }F^{\sigma \lambda })A_{\lambda }}$

dove ${\displaystyle A^{\tau }}$, ${\displaystyle e}$, ${\displaystyle m}$, e ${\displaystyle \mu }$ sono rispettivamente il quadrivettore di polarizzazione, carica, massa e momento magnetico, mentre ${\displaystyle U^{\tau }}$ è la quadrivelocità dell'elettrone e ${\displaystyle F^{\tau \sigma }}$ il tensore elettromagnetico. Inoltre:

${\displaystyle A^{\tau }A_{\tau }=-U^{\tau }U_{\tau }=-1\qquad U^{\tau }A_{\tau }=0}$

Utilizzando l'equazione del moto:

${\displaystyle m{\frac {dU^{\tau }}{ds}}=eF^{\tau \sigma }U_{\sigma }}$

si può riscrivere il primo termine nel membro a destra dell'equazione BMT come:

${\displaystyle (-U^{\tau }W^{\lambda }+U^{\lambda }W^{\tau })A_{\lambda }}$

dove ${\displaystyle W^{\tau }=dU^{\tau }/ds}$ è la quadriaccelerazione. Questo termine descrive il trasporto di Fermi-Walker e conduce alla precessione di Thomas. Il secondo termine è invece associato alla precessione di Larmor.

Quando un campo elettromagnetico è uniforme nello spazio, o quando si possono trascurare forze come il gradiente ${\displaystyle \nabla ({\boldsymbol {\mu }}\cdot {\boldsymbol {B}})}$, il moto traslazionale della particella è descritto dalla relazione:

${\displaystyle {dU^{\alpha } \over d\tau }={e \over m}F^{\alpha \beta }U_{\beta }}$

L'equazione di Bargmann–Michel–Telegdi è allora riscritta nella forma:^[2]

${\displaystyle {\;\,dS^{\alpha } \over d\tau }={e \over m}{\bigg [}{g \over 2}F^{\alpha \beta }S_{\beta }+\left({g \over 2}-1\right)U^{\alpha }\left(S_{\lambda }F^{\lambda \mu }U_{\mu }\right){\bigg ]}}$

Se, invece, non potessimo trascurare quei termini di forza dati dal gradiente del campo, otterremmo:^[2]

${\displaystyle {dS^{\alpha } \over d\tau }={ge \over 2m}{\bigg [}F^{\alpha \beta }S_{\beta }+U^{\alpha }(S_{\lambda }F^{\lambda \mu }U_{\mu }){\bigg ]}-U^{\alpha }(S_{\lambda }{dU^{\lambda } \over d\tau })}$

• (EN) Louis N. Hand and Janet D. Finch., Analytical mechanics, Cambridge, England, Cambridge University Press, 1998, p. 192, ISBN 978-0-521-57572-0.
• (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
• (EN) M. Conte, R. Jagannathan Archiviato il 2 febbraio 2017 in Internet Archive., S. A. Khan and M. Pusterla, Beam optics of the Dirac particle with anomalous magnetic moment, Particle Accelerators, 56, 99-126 (1996); (Preprint: IMSc/96/03/07, INFN/AE-96/08)

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• Georgia State University HyperPhysics page on Larmor Frequency, su hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
• Larmor Frequency Calculator, su bio.groups.et.byu.net.

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