Gruppo unitario speciale

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In matematica, il gruppo unitario speciale di grado è il gruppo delle matrici unitarie con determinante dotato della consueta moltiplicazione.

Il gruppo speciale unitario, indicato con , è un sottogruppo del gruppo unitario , che include tutte le matrici unitarie, che è a sua volta un sottogruppo del gruppo lineare generale .

Il caso più semplice, ovvero , è un gruppo banale, contenente cioè un solo elemento. Il gruppo è isomorfo rispetto al gruppo dei quaternioni di valore assoluto pari a 1, ed è perciò diffeomorfo alla sfera in quattro dimensioni (definita 3-sfera). Poiché quaternioni unitari possono essere usati per rappresentare rotazioni nello spazio tridimensionale (a meno del segno), l'omeomorfismo è suriettivo da sul gruppo ortogonale speciale SO(3) il cui nucleo è .

Il gruppo speciale unitario è un gruppo di Lie di dimensione . Topologicamente, è compatto e semplicemente connesso. Da un punto di vista algebrico, è un gruppo di Lie semplice (ovvero la sua algebra è "semplice"). Il centro di è isomorfo al gruppo ciclico Zn. Il suo gruppo di automorfismi esterni, per , è Z2, mentre quello di è il gruppo banale.

Algebra di Lie

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L'algebra di Lie di consiste di matrici anti-hermitiane con traccia zero.[1] Questa algebra di Lie (reale) ha dimensione .

Rappresentazione fondamentale

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Nel contesto della fisica, è comune identificare l'algebra di Lie con lo spazio di matrici hermitiane a traccia nulla (non antihermitiane). Ciò equivale a dire che l'algebra in fisica e l'algebra in matematica differiscono di un fattore . Con questa convenzione, si può quindi scegliere generatori che sono matrici complesse hermitiane a traccia nulla, dove:

dove le sono le costanti di struttura e sono antisimmetrici in tutti gli indici, mentre i coefficienti sono simmetrici.

Di conseguenza, l'anticommutatore e il commutatore sono:

Il fattore nelle relazioni di commutazione deriva dalla convenzione fisica mentre non è presente nella convenzione matematica.

La condizione di normalizzazione più comune è:

I generatori soddisfano inoltre l'identità di Jacobi[2]:

In fisica, si definiscono per convenzione i generatori come le matrici complesse hermitiane a traccia nulla con un fattore davanti: nel caso del gruppo , si prendono come generatori le matrici dove sono le matrici di Pauli, mentre per il gruppo si definiscono i generatori dove sono le matrici di Gell-Mann[2]. Con questa definizione, i generatori presentano la seguente normalizzazione:

Rappresentazione aggiunta

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Nella rappresentazione aggiunta -dimensionale, i generatori sono rappresentati da matrici , i cui elementi sono definiti dalle costanti di struttura stesse:

Struttura dell'algebra

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La complessificazione dell'algebra di Lie è , lo spazio di tutte le matrici complesse con traccia nulla.[3] Una sottoalgebra di Cartan consiste quindi delle matrici diagonali con traccia nulla,[4] che si identifica con i vettori in tali che la somma dei loro elementi sia zero. Di conseguenza, le radici sono tutte le permutazioni di .

Una scelta di radici semplici è data da:

Pertanto ha rango e il suo diagramma di Dynkin è quello di , cioè una catena lineare di nodi.[5] La matrice di Cartan è

Il suo gruppo di Weyl o gruppo di Coxeter è il gruppo simmetrico.

Il gruppo SU(2)

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Il gruppo SU(2) è dato dalla seguente definizione,[6]

dove la barra indica l'operazione di coniugazione complessa.

Diffeomorfismo con la 3-sfera

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Considerando come coppia in dove e , allora l'equazione diventa

che equivale all'equazione della 3-sfera S3. Questo può essere anche visto usando un embedding: la mappa

dove indica l'insieme delle matrici complesse 2 per 2, è una mappa lineare reale iniettiva (considerando diffeomorfo a e diffeomorfo a ). Quindi, la restrizione di alla 3-sfera (siccome il modulo è 1), indicata con , è un embedding della 3-sfera su una sottovarietà compatta di , nello specifico .

Pertanto, come varietà, è diffeomorfa a SU(2), che mostra che SU(2) è semplicemente connesso e che può essere munita con la struttura di un gruppo di Lie connesso e compatto.

Isomorfismo con i quaternioni unitari

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La matrice complessa

può essere mappata a un quaternione come:

e la mappa che li lega è un isomorfismo. Inoltre, il determinante della matrice è la norma al quadrato del corrispondente quaternione. Chiaramente, una matrice in SU(2) ha questa forma e, siccome ha determinante 1, il corrispondente quaternione ha norma 1. Pertanto SU(2) è isomorfo ai quaternioni.[7]

Algebra di Lie

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L'algebra di Lie di SU(2) consiste delle matrici antihermitiane a traccia nulla.[1] Esplicitamente, ciò significa che

L'algebra di Lie è quindi generata dalle seguenti matrici,

che hanno la forma dell'elemento generico del gruppo e sono legati alle matrici di Pauli.dalle formule e

Poiché soddisfano le relazioni dei quaternioni e , il commutatore è quindi specificato da

Questa rappresentazione è usata comunemente in meccanica quantistica per rappresentare lo spin delle particelle fondamentali come l'elettrone.

Il gruppo SU(3)

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Gruppo di Lie

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è un gruppo di Lie semplice di dimensione 8 contenente tutte le matrici unitarie 3×3 con determinante 1. È un gruppo compatto e semplicemente connesso.[8] La teoria delle rappresentazioni è ampiamente studiata e compresa.[9]

Algebra di Lie

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I generatori , dell'algebra di Lie del gruppo nella cosiddetta rappresentazione "definente" (anche fondamentale, hermitiana o della fisica delle particelle), sono

dove indica le matrici di Gell-Mann, l'analogo per SU(3) delle matrici di Pauli per SU(2):

In quanto generatori, combinazioni lineari di queste coprono tutte le matrici hermitiane a traccia nulla . Si osservi che , e sono antisimmetriche.

I generatori soddisfano le seguenti relazioni di commutazione e anticommutazione

derivate dalla seguente relazione per le matrici di Gell-Mann,

.

I coefficienti sono le costanti di struttura, determinate da

mentre tutte le altre che non si ottengono da queste tramite permutazioni sono nulle. In generale, sono nulle a meno che contengano un numero di indici dell'insieme {2, 5, 7}, per cui meno di 16 di tutte le sono non nulle.

I coefficienti simmetrici assumono i valori:

e sono nulli se il numero di indici dell'insieme {2, 5, 7} è dispari.

Un generico elemento del gruppo generato da una matrice hermitiana 3×3 a traccia nulla , con la normalizzazione , può essere espresso come un polinomio di matrici del secondo ordine in :[10]

dove

  1. ^ a b Hall 2015, Proposizione 3.24.
  2. ^ a b (EN) Howard Georgi, Lie Algebras in Particle Physics: From Isospin to Unified Theories, 1ª ed., CRC Press, 4 maggio 2018, DOI:10.1201/9780429499210, ISBN 978-0-429-49921-0. URL consultato il 17 agosto 2024.
  3. ^ Hall 2015, Sezione 3.6.
  4. ^ Hall 2015, Sezione 7.7.1.
  5. ^ Hall 2015, Sezione 8.10.1.
  6. ^ Hall 2015, Esercizio 1.5.
  7. ^ Savage, Alistair, LieGroups (PDF), su alistairsavage.ca, MATH 4144 notes.
  8. ^ Hall 2015, Proposizione 13.11.
  9. ^ Hall 2015, Capitolo 6.
  10. ^ S P Rosen, Finite Transformations in Various Representations of SU(3), in Journal of Mathematical Physics, vol. 12, n. 4, 1971, pp. 673–681, Bibcode:1971JMP....12..673R, DOI:10.1063/1.1665634.; Curtright, T L e Zachos, C K, Elementary results for the fundamental representation of SU(3), in Reports on Mathematical Physics, vol. 76, n. 3, 2015, pp. 401–404, Bibcode:2015RpMP...76..401C, DOI:10.1016/S0034-4877(15)30040-9, arXiv:1508.00868.
  • Brian C. Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, collana Graduate Texts in Mathematics, vol. 222, 2ª ed., Springer, 2015, ISBN 978-3319134666.
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