Disuguaglianze di Boole e di Bonferroni

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In teoria della probabilità, la disuguaglianza di Boole, nota anche come limite per l'unione, afferma che per ogni collezione finita o numerabile di eventi, la probabilità che accada almeno uno degli eventi è minore o uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi. Questa disuguaglianza viene generalizzata da due disuguaglianze di Bonferroni.

Consideriamo un insieme finito o numerabile di eventi A₁, A₂, A₃, ... . Per esso vale la disuguaglianza

${\displaystyle P\left(\bigcup _{i}A_{i}\right)\leq \sum _{i}P\left(A_{i}\right)}$

Nel caso di collezioni finite di eventi, la precedente disuguaglianza può venire generalizzata nelle cosiddette disuguaglianze di Bonferroni le quali forniscono estremi superiori e inferiori alla probabilità per l'unione di tali eventi.

Introduciamo le seguenti quantità:

${\displaystyle S_{1}:=\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})~,}$

${\displaystyle S_{2}:=\sum _{i<j}P(A_{i}\cap A_{j})~,}$

e per 2 < k ≤ n,

${\displaystyle S_{k}:=\sum P(A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}})~,}$

dove si intende che la somma sia da effettuare sopra tutte le k-uple di interi ${\displaystyle i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}$ soddisfacenti ${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}}$.

Per gli interi dispari k ≥ 1 si dimostra che

${\displaystyle P\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j+1}S_{j}~,}$

mentre per gli interi pari k ≥ 2

${\displaystyle P\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\geq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j+1}S_{j}~.}$

La disuguaglianza di Boole si ottiene come caso particolare relativo a k = 1.

• George Boole
• Carlo Emilio Bonferroni
• Probabilità
• Teorema della probabilità totale

(EN) Disuguaglianze di Boole e di Bonferroni, in PlanetMath.

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