Il teorema della probabilità totale consente di calcolare la probabilità che si verifichi almeno uno di due o più eventi, ovvero la probabilità dell'unione di essi[1]. Il teorema ha due diverse formulazioni, a seconda che si considerino solo eventi a due a due incompatibili o eventi qualsiasi.
Eventi incompatibili
[modifica | modifica wikitesto]Dato un insieme finito o numerabile di eventi a due a due incompatibili, la probabilità dell'unione di tutti gli eventi è uguale alla somma delle probabilità degli eventi.
Questa è una prima formulazione del teorema, che si dimostra come segue.
Nel caso di due eventi e incompatibili, se cioè , si applica il terzo assioma della probabilità:
Si dimostra per induzione che ciò vale anche per un insieme finito di eventi a due a due incompatibili, ovvero che:
Essendo la probabilità una funzione di insieme continua, essendo quindi:
il risultato può essere esteso ad unioni numerabili di eventi:
Infatti:
- dalla definizione di limite per successioni di insiemi crescenti si ha:
- ;
- dalla continuità delle funzioni di probabilità segue:
Esempio
[modifica | modifica wikitesto]Se si lancia un dado, e si indicano con gli eventi "ottengo ", ..., "ottengo ", gli eventi sono a due a due incompatibili ed hanno ciascuno probabilità pari a . La probabilità dell'evento "ottengo un numero maggiore di " è:
Eventi qualsiasi
[modifica | modifica wikitesto]Dato un insieme finito di eventi, la probabilità dell'unione di tutti gli eventi è uguale a:
dove ciascuna somma è calcolata per tutti gli possibili sottoinsiemi di elementi dell'insieme .
È questa la formulazione più generale del teorema, che vale anche per eventi non incompatibili e si dimostra come segue.
Se gli eventi considerati non sono a due a due incompatibili, si deve tenere conto delle loro intersezioni. In particolare, la probabilità di due eventi e , in generale, è pari alla somma delle singole probabilità e diminuita della probabilità della loro intersezione:
Infatti, scomponendo sia che in unioni di insiemi disgiunti ed applicando ad esse il quarto assioma, si ha:
Sottraendo membro a membro le due equazioni si ha:
da cui segue la formula data sopra.
Con più di due eventi, alla somma delle probabilità di ciascuno si deve sottrarre la somma delle loro intersezioni due a due, poi aggiungere la somma delle loro intersezioni tre a tre e così via. Nel caso di tre eventi e , si ha:
La formula per il caso di eventi si dimostra per induzione (v. anche il principio di inclusione-esclusione).
Il teorema nella sua forma generale non può essere esteso a unioni numerabili di eventi. In tali casi risulta applicabile solo la disuguaglianza di Boole.
Esempi
[modifica | modifica wikitesto]Se si lanciano due dadi e si indicano con l'evento "il primo dado dà ", con l'evento "il secondo dado dà ", l'evento "almeno un dado dà " è unione di due eventi non incompatibili, in quanto può verificarsi anche la loro intersezione ("entrambi i dadi danno "). La probabilità di ottenere almeno un (anche più di uno quindi) è dunque:
In un ristorante vi sono 3 sale ed entrano 10 persone, ciascuna delle quali sceglie a caso una sala. Qual è la probabilità che almeno una delle sale resti vuota? Le persone possono scegliere le sale in modi diversi (numero delle disposizioni con ripetizione di 3 elementi di classe 10); vi sono modi di lasciar vuota una sala (le 10 persone si dispongono solo in due sale). Indicando con l'evento "rimane vuota la esima sala", le probabilità sono:
La probabilità dell'evento "rimane vuota una sala" è:
in quanto potrebbero restarne vuote due (un solo caso possibile: tutti nell'altra).
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ probabilita totale in "Enciclopedia della Matematica", su treccani.it. URL consultato il 17 agosto 2020.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]- Probabilità
- Principio di inclusione-esclusione
- Probabilità condizionata
- Indipendenza stocastica
- Teorema della probabilità composta
- Teorema della probabilità assoluta
- Teorema di Bayes
- Legge delle aspettative iterate
- Legge della varianza totale
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- probabilita totale, teorema della, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.