In matematica, in particolare nell'ambito dell'algebra lineare e dell'analisi funzionale, per una data matrice hermitiana e un vettore non nullo , il quoziente di Rayleigh è il numero reale:
dove indica il vettore trasposto coniugato di . Anche se definito tramite quantità complesse, il quoziente di Rayleigh è sempre reale, essendo una forma hermitiana ed essendo , dove indica la norma euclidea. Come verifica, è sufficiente porre e osservare che, essendo , si ha:
ma ciò implica che .
Si può dimostrare che il quoziente di Rayleigh assume il valore minimo , che è il più piccolo autovalore di , quando è il corrispondente autovettore . Analogamente, si ha e .
L'immagine del quoziente di Rayleigh è lo spettro di , e il numero è il raggio spettrale.
Un caso di particolare importanza si verifica quando la matrice è la matrice delle covarianze. Un tale matrice può essere rappresentata dal prodotto , dove è una matrice di dati empirici e la sua trasposta. Essendo simmetrica, possiede autovalori non negativi e autovettori ortogonali (più precisamente, ortonormalizzabili). Infatti:
ovvero gli autovalori non sono negativi. Inoltre:
ovvero gli autovettori sono ortogonali (ortonormalizzabili nel caso di autovettori differenti/molteplici).
Per mostrare che il quoziente di Rayleigh è massimizzato dall'autovettore relativo al più grande autovalore (raggio spettrale), si consideri la decomposizione di un generico vettore nella base degli autovettori :
dove:
è la coordinata di proiettata ortogonalmente su . Quindi si ha:
che per la mutua perpendicolarità degli autovettori diventa:
ovvero il quoziente di Rayleigh è la somma dei coseni al quadrato degli angoli formati tra e gli autovettori , pesata per i rispettivi autovalori.
Se un vettore massimizza , allora anche ogni scalare non nullo massimizza e pertanto il problema può essere ridotto al metodo di Lagrange per massimizzare , a condizione che:
Questo risultato può essere ricavato anche utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Il problema consiste nel trovare i punti critici della funzione:
soggetta al vincolo . Si tratta cioè di trovare i punti critici di:
dove è un moltiplicatore di Lagrange. Il punto stazionario di si verifica quando:
e:
Quindi, gli autovettori di sono i punti critici del quoziente di Rayleigh e i rispettivi autovalori sono i valori stazionari di .
La teoria di Sturm-Liouville studia l'azione dell'operatore lineare:
sullo spazio prehilbertiano definito da:
composto da funzioni che soddisfano alcune specifiche condizioni al contorno in e . In tal caso il quoziente di Rayleigh è:
Talvolta è presentato in una forma equivalente, ottenuta separando l'integrale al numeratore e utilizzando l'integrazione per parti:
Per una data coppia di matrici e per un dato vettore , il quoziente di Rayleigh generalizzato è definito come:
Il quoziente di Rayleigh generalizzato può essere ridotto al quoziente di Rayleigh attraverso la trasformazione , dove è la decomposizione di Cholesky della matrice hermitiana definita positiva.
- (EN) Shi Yu, Léon-Charles Tranchevent, Bart Moor, Yves Moreau, Kernel-based Data Fusion for Machine Learning: Methods and Applications in Bioinformatics and Text Mining, Ch. 2, Springer, 2011.
- (EN) Horn, R. A. and C. A. Johnson. 1985. Matrix Analysis. Cambridge University Press. pp. 176–180.
- (EN) Parlet B. N. The symmetric eigenvalue problem, SIAM, Classics in Applied Mathematics, 1998.