Tertium non datur

Tertium non datur (tradotto: «Una terza cosa non è data») è una locuzione che sta a significare che non esiste una terza soluzione rispetto ad una situazione che sembra prefigurarne soltanto due. Si potrebbe leggere quindi come: «Non ci sono altre possibilità eccetto queste due». In italiano è detto anche terzo escluso.

L'articolazione della frase, nella sua secchezza e laconicità, è piuttosto semplice: datur è la terza persona singolare passiva del verbo dare (quindi «è dato») e tertium figura come aggettivo neutro sostantivato, in quanto riferito a res, ovvero «cosa»: quando la parola res è sottintesa, l'aggettivo prende il genere neutro. La negazione non compare con lo stesso uso che ne fa la lingua italiana.

Enunciato

A	${\displaystyle \neg A}$	${\displaystyle A\vee (\neg A)}$
V	F	V
F	V	V

Lo stesso argomento in dettaglio: Principio di bivalenza.

L'espressione entra nella formulazione del principio logico del terzo escluso che afferma che due proposizioni formanti una coppia antifatica (p e ¬p) devono avere valore di verità opposto, ovvero non esiste una terza possibilità (Tertium non datur). Esso si trova già formulato nella Metafisica di Aristotele.

In altre parole, non è possibile che due proposizioni contraddittorie siano entrambe non vere, in quanto esso afferma che il valore di verità di una proposizione è sempre opposto a quello della proposizione contraddittoria. Il principio del tertium non datur è più generale del principio di non-contraddizione o di consistenza e implica che se una proposizione è vera, non lo è il suo contrario, fatto che a priori non esclude che entrambe possano essere non vere. Il principio si differenzia anche dal principio di bivalenza che afferma che una proposizione è vera o è falsa.

Le teorie sui fondamenti della matematica, in particolare la scuola intuizionista, non ne danno oggi per scontata l'autoevidenza. La logica fuzzy rifiuta questo principio perché i valori di verità sono presi nell'intervallo chiuso tra vero e falso nel campo dei numeri reali, violandone la polarità. In tutte le logiche in cui i valori di verità sono polari questo principio conserva ancora tutta la sua validità, come si dimostra in logica binaria.

Nell'ambito della logica proposizionale, il principio del terzo escluso è formalizzato nel modo seguente:

${\displaystyle p\vee \neg p}$,

dimostrata dai seguenti passaggi:

Dipende dalla riga n.	Riga n.	F.b.f.	Regola applicata	Righe di applicazione della regola
1	(1)	${\displaystyle \neg (P\vee \neg P)}$	assunzione (A)
2	(2)	P	assunzione (A)
2	(3)	${\displaystyle P\vee \neg P}$	Introduzione della disgiunzione (IV)	2
1,2	(4)	${\displaystyle (P\vee \neg P)\wedge [\neg (P\vee \neg P)]}$	Introduzione della congiunzione (I∧)	3 , 1
1	(5)	${\displaystyle \neg P}$	Reductio ad absurdum (RAA)	2 , 4
1	(6)	${\displaystyle (P\vee \neg P)}$	Introduzione della disgiunzione (IV)	5
1	(7)	${\displaystyle (P\vee \neg P)\wedge [\neg (P\vee \neg P)]}$	Introduzione della disgiunzione (IV)	6 , 1
	(8)	${\displaystyle \neg \neg (P\vee \neg P)}$	Reductio ad absurdum (RAA)	1 , 7
	(9)	${\displaystyle (P\vee \neg P)}$	Doppia negazione	8

La tesi era già dimostrata in corrispondenza della riga (6), che tuttavia dipendeva ancora da un'ipotesi, quella assunta nella riga (1). Il principio logico, invece, è universalmente vero e non dipende da alcuna ipotesi, nemmeno quelle assunte in ordine alla tesi da dimostrare. I passaggi dalla riga (7) alla riga (9) comprese sono necessaria per escludere la dipendenza della tesi da qualsivoglia assunzione.

Dal principio del terzo escluso, discendono le due seguenti leggi logiche:

${\displaystyle [P\rightarrow \neg P]\vdash \neg P}$ (1*)

${\displaystyle P\rightarrow Q,P\rightarrow \neg Q\vdash \neg P}$ (2*)

Inoltre, mediante altri teoremi, si dimostra anche che ${\displaystyle [(\neg P)\vee Q]\vdash [P\rightarrow Q]}$^[1] (3*), verità logica che, ponendo ${\displaystyle Q=P}$, permette di derivare la legge di identità ${\displaystyle P\rightarrow P}$ a partire dal principio del terzo escluso assunto come premessa. Se invece si pone ${\displaystyle Q=\neg \neg P}$, allora si ha che ${\displaystyle [\neg P\vee (\neg \neg P)]\vdash [P\rightarrow (\neg \neg P)]}$, che è la prima delle due leggi della doppia negazione. Si noti a questo punto che la parte a destra dell'ultima espressione di sequenza è una legge della logica proposizionale, la sua premessa ${\displaystyle \neg P\vee (\neg \neg P)}$ è in realtà universalmente valida ed è una riscrittura del principio del terzo escluso. La seconda legge di identità afferma che ${\displaystyle \neg \neg P\rightarrow P}$.
Si dimostra anche che è valido il reciproco della precedente proprietà, cioè ${\displaystyle P\rightarrow Q\vdash \neg P\vee Q}$^[2] (4*): ponendo di nuovo ${\displaystyle Q=\neg P}$, si ha che ${\displaystyle [P\rightarrow \neg P]\vdash [\neg P\vee (\neg P)]}$, e per la (1*) si ha che ${\displaystyle \neg P\vdash \neg P\vee (\neg P)}$.

Tradotti in parole, la prima legge afferma che se una cosa implica il suo contrario, allora non può esistere. Ciò smentisce seccamente il noto proverbio secondo il quale i contrari si coimplicherebbero a vicenda, nonché il divenire dell'uno nell'altro reciprocamente. Il corrispondente detto latino è: contraria reciprocantur seu convertuntur.
La seconda legge afferma che un ente non può essere la causa di un effetto e della sua negazione logica, interpretata nella metafisica come il suo contrario o opposto. Ciò ha rilevanti implicazioni logiche e matematiche nella fattibilità della dialettica degli enti secondo Hegel: tesi, antitesi e sintesi.

Data la loro importanza, si riportano in breve le rispettive dimostrazioni:

Tesi: ${\displaystyle P\rightarrow \neg P\vdash \neg P}$

Dipende dalla riga n.	Riga n.	F.b.f.	Regola applicata	Righe di applicazione della regola
1	(1)	${\displaystyle P\rightarrow \neg P}$	assunzione (A)
2	(2)	P	assunzione (A)
1,2	(3)	${\displaystyle \neg P}$	modus ponendo ponens (MPP)	1 , 2
2,3	(4)	${\displaystyle P\wedge (\neg P)}$	Introduzione della congiunzione (I∧)	2, 3
1	(5)	${\displaystyle \neg P}$	Reductio ad absurdum (RAA)	2 , 4

La dimostrazione procede per assurdo. Nella riga (2) viene assunta la negazione della tesi da dimostrare, che è ${\displaystyle \neg P}$. Per la regola della doppia negazione (passaggio omesso) si ha che ${\displaystyle [\neg (\neg P)]=\neg \neg P=P}$. Si arriva ad una contraddizione nella riga (4), che per il principio di non-contraddizione non può essere vera. Allora, si può applicare la regola della riduzione all'impossibile, che, in presenza di una contraddizione, impone di negare l'assunzione che la causa, vale a dire la riga (2). Negando la negazione della tesi nella riga (2), la tesi ${\displaystyle \neg \neg \neg P=\neg P}$ risulta verificata.

La dimostrazione della seconda legge è la seguente:

Tesi: ${\displaystyle P\rightarrow Q,P\rightarrow \neg Q\vdash \neg P}$

Dipende dalla riga n.	Riga n.	F.b.f.	Regola applicata	Righe di applicazione della regola
1	(1)	${\displaystyle P\rightarrow Q}$	assunzione (A)
2	(2)	${\displaystyle P\rightarrow \neg Q}$	assunzione (A)
3	(3)	P	assunzione (A)
1,3	(4)	Q	modus ponendo ponens (MPP)	1 , 3
1,4	(5)	${\displaystyle \neg Q}$	assunzione (A)	1 , 4
1,3,4	(6)	${\displaystyle Q\wedge \neg Q}$	Introduzione della congiunzione (I∧)	4 , 5
3, 1, 4[3]	(7)	${\displaystyle \neg P}$	Reductio ad absurdum (RAA)	3 , 6

La dimostrazione procede per assurdo. Viene assunta come ipotesi la negazione della tesi da dimostrare che è ${\displaystyle \neg P}$. Tale ipotesi ${\displaystyle \neg \neg P}$ diviene ${\displaystyle P}$ per la regola della doppia negazione il cui passaggio viene normalmente omesso nel procedimento per assurdo. L'applicazione del modus ponendo ponens alle due premesse nelle righe (4) e (5) conduce alla contraddizione della (6), passaggio necessario per concludere l'impossibilità e irrealtà dell'ipotesi alla riga (3) che viene quindi negata alla (7). Come volevasi dimostrare.

• Locuzioni latine
• Falsa dicotomia
• Dimostrazione per assurdo

• terzo escluso, principio del (detto anche principio del medio escluso, o del mezzo escluso), in Dizionario di filosofia, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2009.
• (EN) law of excluded middle, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• Dimostrazione del Principio del Terzo Escluso fatta in Deduzione Naturale e Calcolo dei Sequenti, su esercizidilogica.blogspot.it. URL consultato il 21 luglio 2013.

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