Teorema di Birkhoff-Kellogg

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In matematica, il teorema di Birkhoff-Kellogg, il cui nome è dovuto a George David Birkhoff e Oliver Dimon Kellogg, è una generalizzazione del teorema del punto fisso di Brouwer. Stabilisce che se ${\displaystyle U}$ è un intorno aperto e limitato di ${\displaystyle \mathbf {0} }$ in uno spazio normato di dimensione infinita ${\displaystyle V}$, e se ${\displaystyle f:\partial U\to V}$ è una funzione compatta che soddisfa:

${\displaystyle \|f(\mathbf {x} )\|\geq \alpha \qquad \forall \mathbf {x} \in \partial U}$

per qualche ${\displaystyle \alpha >0}$, allora ${\displaystyle f}$ ha una direzione invariante, ovvero esistono un vettore ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ e una costante ${\displaystyle \lambda }$ tali per cui:

${\displaystyle \mathbf {x} _{0}=\lambda f(\mathbf {x} _{0})}$

Il teorema è stato generalizzato da Schauder e Leray; entrambi i risultati trovano applicazione nell'ambito delle equazioni alle derivate parziali.

• (EN) Granas, Andrzej e Dugundji, James, Fixed Point Theory, New York, Springer-Verlag, 2003, pp. 125–126, ISBN 0-387-00173-5.
• (EN) Birkhoff, G. D. e Kellogg, O. D., Invariant points in function space (PDF), in Trans. Amer. Math. Soc., vol. 23, pp. 96–115, DOI:10.1090/s0002-9947-1922-1501192-9.
• (EN) Morse, Marston, George David Birkhoff and his mathematical work, VI. MISCELLANEOUS WORKS, (a) Fixed points in function space, pages 385–386, in Bull. Amer. Math. Soc., vol. 52, 5, Part 1, 1946, pp. 357–391, MR 0016341.

• Teorema del punto fisso di Brouwer