Figura di Lissajous

In matematica e in fisica, per figura di Lissajous si intende il grafico di una curva data dal sistema di equazioni parametriche

${\displaystyle x=A_{x}\sin(\omega _{x}t+\phi _{x}),\quad y=A_{y}\sin(\omega _{y}t+\phi _{y}),}$

dove ${\displaystyle A_{x}}$ e ${\displaystyle A_{y}}$ sono le ampiezze, ${\displaystyle \omega _{x}}$ e ${\displaystyle \omega _{y}}$ sono le pulsazioni e ${\displaystyle \phi _{x}}$ e ${\displaystyle \phi _{y}}$ sono le fasi di due moti oscillatori ortogonali.

Tali curve sono state studiate in dettaglio dal fisico Jules Antoine Lissajous (1822 - 1880). In precedenza, nell'anno 1815, erano state oggetto di studio dell'astronomo americano Nathaniel Bowditch (1773 - 1838), motivo per cui sono chiamate anche figure di Bowditch.

L'aspetto di queste figure è molto sensibile al rapporto ${\displaystyle {\frac {\omega _{x}}{\omega _{y}}}}$ tra le due pulsazioni.

In particolare, quando tale rapporto è pari a uno, la figura risulta essere, in generale, un'ellisse, che diventa una circonferenza nel caso in cui sia anche ${\displaystyle A_{x}=A_{y}}$, ${\displaystyle \phi _{x}=-{\frac {\pi }{2}}}$ e ${\displaystyle \phi _{y}=0}$ (moti oscillatori tra loro in quadratura), o degenera a un segmento nel caso in cui sia anche ${\displaystyle \phi _{x}=0}$, ${\displaystyle \phi _{y}=0}$ (moti oscillatori tra loro in fase). Un'altra semplice figura di Lissajous è la parabola, che si ottiene quando ${\displaystyle {\frac {\omega _{x}}{\omega _{y}}}=2}$ e ${\displaystyle \phi _{x}=0}$, ${\displaystyle \phi _{y}=0}$. Altri rapporti producono curve più complicate, che sono chiuse solo se il rapporto ${\displaystyle {\frac {\omega _{x}}{\omega _{y}}}}$ è razionale. La forma di queste curve spesso ricorda un nodo tridimensionale, e in effetti molti tipi di nodi, quando vengono proiettati su un piano, diventano figure di Lissajous.

Seguono alcuni esempi di figure di Lissajous con ${\displaystyle \phi _{x}={\frac {\pi }{2}}}$ e ${\displaystyle \phi _{y}=0}$.

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  ${\displaystyle \omega _{x}=1,\omega _{y}=2}$
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  ${\displaystyle \omega _{x}=3,\omega _{y}=2}$
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  ${\displaystyle \omega _{x}=3,\omega _{y}=4}$
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  ${\displaystyle \omega _{x}=5,\omega _{y}=4}$
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  ${\displaystyle \omega _{x}=5,\omega _{y}=6}$
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  ${\displaystyle \omega _{x}=9,\omega _{y}=8}$

• Glossario di trigonometria
• Oscilloscopio
• Armonografo
• Spirograph

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su figura di Lissajous

• COURBE DE LISSAJOUS nella Encyclopédie des formes mathématiques remarquables
• Lissajous Curve in MathWorld
• Animated Lissajous figures in Java
• About the Australian Broadcasting Corporation logo, su abc.net.au. URL consultato il 13 dicembre 2005 (archiviato dall'url originale il 14 settembre 2005).
• About the MIT Lincoln Laboratory logo, su ll.mit.edu. URL consultato il 13 dicembre 2005 (archiviato dall'url originale il 25 ottobre 2005).
• QLiss3D software libero per la mostra delle figure di Lissajous in 3 dimensioni

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