Teorema della permanenza del segno

Da Teknopedia, l'enciclopedia libera.
Vai alla navigazione Vai alla ricerca

Il teorema della permanenza del segno è un teorema di analisi matematica. Assume forme diverse a seconda del contesto, ed afferma che se un limite è strettamente positivo allora l'oggetto che vi converge è sempre positivo "da un certo punto in poi" o in un "certo intorno". Si applica soprattutto a successioni e funzioni.

Il teorema della permanenza del segno per le successioni afferma che:

Una successione che tende a un limite strettamente positivo (che può essere anche ) ha definitivamente soltanto termini positivi. In altre parole, esiste un tale che per ogni .

Analogamente, una successione che tende a un limite strettamente negativo ha definitivamente soltanto termini negativi.

Dimostrazione

[modifica | modifica wikitesto]

Se è finito, basta prendere nella definizione di limite: esiste quindi un tale che è nell'intervallo per ogni ; poiché , allora per ogni .

Se , per la definizione di divergenza, dato un qualsiasi, esiste tale che per ogni .

  • La successione

converge ad , dove è il numero di Nepero. Il limite è strettamente positivo, quindi esiste un tale che per ogni .

  • Un teorema di questo tipo non vale se il limite è zero: una successione che converge a zero può avere infiniti termini di ambo i segni, ad esempio

Enunciato per una funzione non necessariamente continua in x0.

[modifica | modifica wikitesto]
Poiché f(x0)>0, esiste un intorno U di x0 (in verde) tale che f(x)>0 in U

Sia una funzione reale a variabile reale definita su un sottoinsieme dei numeri reali, che ha limite

strettamente positivo in un punto di accumulazione per .

Allora esiste un intorno di tale che per ogni in diverso da .

Dimostrazione

[modifica | modifica wikitesto]

Poiché si può porre . Per l'ipotesi dell'esistenza del limite, e quindi per definizione di limite, esiste certamente in corrispondenza di un intorno di tale che per ogni del dominio in . Quindi, per tali si ha , cioè , pertanto la funzione è positiva in , escluso al più .

Se , esisterà un intorno di , in cui, in ogni suo punto escluso al più , . Nella dimostrazione si dovrà prendere , risultando così in escluso al più .

Enunciato per una funzione continua in x0 .

[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione reale a variabile reale definita e continua su un sottoinsieme dei numeri reali, tale che:

dove è un punto di accumulazione per .

Allora esiste un intorno di tale che per ogni in .

Dimostrazione

[modifica | modifica wikitesto]

L'ipotesi di continuità di implica che:

Per ipotesi, , dunque per il teorema precedente segue l'asserto.

Nota

Se il limite è negativo, quindi si applichi la nota al teorema precedente per concludere che esiste un intorno di tale per cui per ogni si abbia .

Osservazione 1

[modifica | modifica wikitesto]

In questo teorema da non va escluso essendo continua in

Osservazione 2

[modifica | modifica wikitesto]

Se è un intervallo, si può omettere di specificare che debba essere di accumulazione, perché tutti i punti di un intervallo sono di accumulazione per l'intervallo stesso, inclusi gli estremi che non gli appartengono.

Se , esisterà un intorno di in ogni punto del quale . Nella dimostrazione si potrà prendere , risultando così in (da cui non si esclude per la continuità di anche in )

Per mezzo del teorema della permanenza del segno si dimostra il così détto suo "inverso".

Inverso del teorema della permanenza del segno.

[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione reale a variabile reale definita nell'intervallo aperto e .

a) Se esiste un intorno di in ogni punto del quale, escluso al più è allora

b) Se esiste un intorno di in ogni punto del quale, escluso al più è allora

Dimostrazione

a) Negando la tesi, si ha . Per il teorema della permanenza del segno esiste certamente un intorno di in ogni punto del quale, escluso al più , risulta . Ma allora in ogni punto di risulta sia (per ipotesi) sia , ma ciò è assurdo: non può assumere valori distinti in uno stesso punto Dunque è

b) Come in a) mutatis mutandis.

Osservazione 3

[modifica | modifica wikitesto]

Gli inversi dei teoremi si ottengono, quando è possibile, scambiando ipotesi e tesi. Nell'inverso del teorema della permanenza del segno si fa abuso di linguaggio perché non c'è perfetto scambio tra ipotesi e tesi a causa della presenza del segno uguale.

Ovviamente nell'enunciato del teorema non si esclude se è continua in . In tale caso, come è noto, è .

  Portale Matematica: accedi alle voci di Teknopedia che trattano di matematica