Il teorema della permanenza del segno è un teorema di analisi matematica. Assume forme diverse a seconda del contesto, ed afferma che se un limite è strettamente positivo allora l'oggetto che vi converge è sempre positivo "da un certo punto in poi" o in un "certo intorno". Si applica soprattutto a successioni e funzioni.

Il teorema della permanenza del segno per le successioni afferma che:

Una successione ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ che tende a un limite strettamente positivo ${\displaystyle a>0}$ (che può essere anche ${\displaystyle +\infty }$) ha definitivamente soltanto termini positivi. In altre parole, esiste un ${\displaystyle N}$ tale che ${\displaystyle a_{n}>0}$ per ogni ${\displaystyle n>N}$.

Analogamente, una successione che tende a un limite strettamente negativo ha definitivamente soltanto termini negativi.

Se ${\displaystyle a}$ è finito, basta prendere ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {a}{2}}}$ nella definizione di limite: esiste quindi un ${\displaystyle N}$ tale che ${\displaystyle a_{n}}$ è nell'intervallo ${\displaystyle \left(a-{\frac {a}{2}},a+{\frac {a}{2}}\right)}$ per ogni ${\displaystyle n>N}$; poiché ${\displaystyle a-{\frac {a}{2}}>0}$, allora ${\displaystyle a_{n}>0}$ per ogni ${\displaystyle n>N}$.

Se ${\displaystyle a=+\infty }$, per la definizione di divergenza, dato un ${\displaystyle M>0}$ qualsiasi, esiste ${\displaystyle N}$ tale che ${\displaystyle a_{n}>M}$ per ogni ${\displaystyle n>N}$.

• La successione

${\displaystyle a_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}-2,5}$

converge ad ${\displaystyle e-2,5}$, dove ${\displaystyle e=2,71828\ldots }$ è il numero di Nepero. Il limite ${\displaystyle e-2,5=0,21828\ldots }$ è strettamente positivo, quindi esiste un ${\displaystyle N}$ tale che ${\displaystyle a_{n}>0}$ per ogni ${\displaystyle n>N}$.

• Un teorema di questo tipo non vale se il limite è zero: una successione che converge a zero può avere infiniti termini di ambo i segni, ad esempio ${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}/n}$

${\displaystyle -1,{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{5}},{\frac {1}{6}},\ldots }$

Sia ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ una funzione reale a variabile reale definita su un sottoinsieme ${\displaystyle X}$ dei numeri reali, che ha limite

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l>0}$

strettamente positivo in un punto ${\displaystyle x_{0}}$ di accumulazione per ${\displaystyle X}$.

Allora esiste un intorno ${\displaystyle U}$ di ${\displaystyle x_{0}}$ tale che ${\displaystyle f(x)>0}$ per ogni ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle U\cap X}$ diverso da ${\displaystyle x_{0}}$.

Poiché ${\displaystyle l>0}$ si può porre ${\displaystyle \varepsilon =l}$. Per l'ipotesi dell'esistenza del limite, e quindi per definizione di limite, esiste certamente in corrispondenza di ${\displaystyle \varepsilon =l}$ un intorno ${\displaystyle U}$ di ${\displaystyle x_{0}}$ tale che ${\displaystyle |f(x)-l|<l=\varepsilon }$ per ogni ${\displaystyle x\neq x_{0}}$ del dominio in ${\displaystyle U}$. Quindi, per tali ${\displaystyle x}$ si ha ${\displaystyle l-l<f(x)<l+l}$ , cioè ${\displaystyle 0<f(x)<2l}$, pertanto la funzione è positiva in ${\displaystyle U\cap X}$, escluso al più ${\displaystyle x_{0}}$.

Se ${\displaystyle l<0}$, esisterà un intorno ${\displaystyle U}$ di ${\displaystyle x_{0}}$, in cui, in ogni suo punto escluso al più ${\displaystyle x_{0}}$, ${\displaystyle f(x)<0}$ . Nella dimostrazione si dovrà prendere ${\displaystyle \varepsilon =-l}$ , risultando così ${\displaystyle l+l<f(x)<0}$ in ${\displaystyle U\cap X}$ escluso al più ${\displaystyle x_{0}}$.

Sia ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ una funzione reale a variabile reale definita e continua su un sottoinsieme ${\displaystyle X}$ dei numeri reali, tale che:

${\displaystyle f(x_{0})>0}$

dove ${\displaystyle x_{0}}$ è un punto di accumulazione per ${\displaystyle X}$.

Allora esiste un intorno ${\displaystyle U}$ di ${\displaystyle x_{0}}$ tale che ${\displaystyle f(x)>0}$ per ogni ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle U\cap X}$.

L'ipotesi di continuità di ${\displaystyle f}$ implica che:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{_{0}}}f(x)=f(x_{0})}$

Per ipotesi, ${\displaystyle f(x_{0})>0}$, dunque per il teorema precedente segue l'asserto.

Nota

Se ${\displaystyle f(x_{0})<0}$ il limite è negativo, quindi si applichi la nota al teorema precedente per concludere che esiste un intorno ${\displaystyle U}$ di ${\displaystyle x_{0}}$ tale per cui per ogni ${\displaystyle x\in U\cap X}$ si abbia ${\displaystyle f(x)<0}$.

In questo teorema da ${\displaystyle U\cap X}$ non va escluso ${\displaystyle x_{0},}$ essendo ${\displaystyle f}$ continua in ${\displaystyle x_{0}.}$

Se ${\displaystyle X}$ è un intervallo, si può omettere di specificare che ${\displaystyle x_{0}}$ debba essere di accumulazione, perché tutti i punti di un intervallo sono di accumulazione per l'intervallo stesso, inclusi gli estremi che non gli appartengono.

Se ${\displaystyle l<0}$, esisterà un intorno ${\displaystyle U}$ di ${\displaystyle x_{0}}$ in ogni punto del quale ${\displaystyle f(x)<0}$ . Nella dimostrazione si potrà prendere ${\displaystyle \varepsilon =-l}$ , risultando così ${\displaystyle l+l<f(x)<0}$ in ${\displaystyle U\cap X}$ (da cui non si esclude ${\displaystyle x_{0},}$ per la continuità di ${\displaystyle f}$ anche in ${\displaystyle x_{0}.}$)

Per mezzo del teorema della permanenza del segno si dimostra il così détto suo "inverso".

Sia ${\displaystyle f}$ una funzione reale a variabile reale definita nell'intervallo aperto ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l}$.

a) Se esiste un intorno ${\displaystyle U}$ di ${\displaystyle x_{0}}$ in ogni punto del quale, escluso al più ${\displaystyle x_{0},}$ è ${\displaystyle f(x)\geq 0,}$ allora ${\displaystyle l\geq 0.}$

b) Se esiste un intorno ${\displaystyle U}$ di ${\displaystyle x_{0}}$ in ogni punto del quale, escluso al più ${\displaystyle x_{0},}$ è ${\displaystyle f(x)\leq 0,}$ allora ${\displaystyle l\leq 0.}$

Dimostrazione

a) Negando la tesi, si ha ${\displaystyle l<0}$. Per il teorema della permanenza del segno esiste certamente un intorno ${\displaystyle U^{*}}$ di ${\displaystyle x_{0}}$ in ogni punto del quale, escluso al più ${\displaystyle x_{0}}$, risulta ${\displaystyle f(x)<0}$. Ma allora in ogni punto ${\displaystyle x\neq x_{0}}$ di ${\displaystyle U^{*}\cap U\cap X}$ risulta sia ${\displaystyle f(x)\geq 0}$ (per ipotesi) sia ${\displaystyle f(x)<0}$, ma ciò è assurdo: ${\displaystyle f}$ non può assumere valori distinti in uno stesso punto ${\displaystyle x.}$ Dunque è ${\displaystyle l\geq 0.}$

b) Come in a) mutatis mutandis.

Gli inversi dei teoremi si ottengono, quando è possibile, scambiando ipotesi e tesi. Nell'inverso del teorema della permanenza del segno si fa abuso di linguaggio perché non c'è perfetto scambio tra ipotesi e tesi a causa della presenza del segno uguale.

Ovviamente nell'enunciato del teorema non si esclude ${\displaystyle x_{0}}$ se ${\displaystyle f}$ è continua in ${\displaystyle x_{0}}$ . In tale caso, come è noto, è ${\displaystyle l=f(x_{0})}$.

• Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2.

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