Gruppo unitario speciale

In matematica, il gruppo unitario speciale di grado ${\displaystyle n}$ è il gruppo delle matrici unitarie ${\displaystyle n\times n}$ con determinante ${\displaystyle 1}$ dotato della consueta moltiplicazione.

Il gruppo speciale unitario, indicato con ${\displaystyle SU(n)}$, è un sottogruppo del gruppo unitario ${\displaystyle U(n)}$, che include tutte le matrici unitarie, che è a sua volta un sottogruppo del gruppo lineare generale ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$.

Il caso più semplice, ovvero ${\displaystyle SU(1)}$, è un gruppo banale, contenente cioè un solo elemento. Il gruppo ${\displaystyle SU(2)}$ è isomorfo rispetto al gruppo dei quaternioni di valore assoluto pari a 1, ed è perciò diffeomorfo alla sfera in quattro dimensioni (definita 3-sfera). Poiché quaternioni unitari possono essere usati per rappresentare rotazioni nello spazio tridimensionale (a meno del segno), l'omeomorfismo è suriettivo da ${\displaystyle SU(2)}$ sul gruppo ortogonale speciale SO(3) il cui nucleo è ${\displaystyle \{+I,-I\}}$.

Il gruppo speciale unitario ${\displaystyle SU(n)}$ è un gruppo di Lie di dimensione ${\displaystyle n^{2}-1}$. Topologicamente, è compatto e semplicemente connesso. Da un punto di vista algebrico, è un gruppo di Lie semplice (ovvero la sua algebra è "semplice"). Il centro di ${\displaystyle SU(n)}$ è isomorfo al gruppo ciclico Z_n. Il suo gruppo di automorfismi esterni, per ${\displaystyle n\geq 3}$, è Z₂, mentre quello di ${\displaystyle SU(2)}$ è il gruppo banale.

L'algebra di Lie ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$ di ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ consiste di matrici anti-hermitiane ${\displaystyle n\times n}$ con traccia zero.^[1] Questa algebra di Lie (reale) ha dimensione ${\displaystyle n^{2}-1}$.

Nel contesto della fisica, è comune identificare l'algebra di Lie con lo spazio di matrici hermitiane a traccia nulla (non antihermitiane). Ciò equivale a dire che l'algebra in fisica e l'algebra in matematica differiscono di un fattore ${\displaystyle i}$. Con questa convenzione, si può quindi scegliere generatori ${\displaystyle T_{a}}$ che sono matrici ${\displaystyle n\times n}$ complesse hermitiane a traccia nulla, dove:

${\displaystyle T_{a}T_{b}={\frac {1}{2n}}\delta _{ab}I_{n}+{\frac {1}{2}}\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\left(if_{abc}+d_{abc}\right)T_{c}}$

dove le ${\displaystyle f}$ sono le costanti di struttura e sono antisimmetrici in tutti gli indici, mentre i coefficienti ${\displaystyle d}$ sono simmetrici.

Di conseguenza, l'anticommutatore e il commutatore sono:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\{T_{a},T_{b}\right\}&={\frac {1}{n}}\delta _{ab}I_{n}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}T_{c}}\\\left[T_{a},T_{b}\right]&=i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}f_{abc}T_{c}\,.\end{aligned}}}$

Il fattore ${\displaystyle i}$ nelle relazioni di commutazione deriva dalla convenzione fisica mentre non è presente nella convenzione matematica.

La condizione di normalizzazione più comune è:

${\displaystyle \sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}d_{bce}={\frac {n^{2}-4}{n}}\delta _{ab}}$

I generatori ${\displaystyle T_{a}}$ soddisfano inoltre l'identità di Jacobi^[2]:

${\displaystyle [T_{a},[T_{b},T_{c}]]+[T_{b},[T_{c},T_{a}]]+[T_{c},[T_{a},T_{b}]]=0}$

In fisica, si definiscono per convenzione i generatori come le matrici complesse hermitiane a traccia nulla con un fattore ${\displaystyle 1/2}$ davanti: nel caso del gruppo ${\displaystyle SU(2)}$, si prendono come generatori le matrici ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma _{1},{\frac {1}{2}}\sigma _{2},{\frac {1}{2}}\sigma _{3}}$ dove ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ sono le matrici di Pauli, mentre per il gruppo ${\displaystyle SU(3)}$ si definiscono i generatori ${\displaystyle T_{a}={\frac {1}{2}}\lambda _{a}}$ dove ${\displaystyle \lambda _{a}}$ sono le matrici di Gell-Mann^[2]. Con questa definizione, i generatori presentano la seguente normalizzazione:

${\displaystyle Tr(T_{a}T_{b})={\frac {1}{2}}\delta _{ab}}$

Nella rappresentazione aggiunta ${\displaystyle (n^{2}-1)}$-dimensionale, i generatori sono rappresentati da matrici ${\displaystyle (n^{2}-1)\times (n^{2}-1)}$, i cui elementi sono definiti dalle costanti di struttura stesse:

${\displaystyle \left(T_{a}\right)_{jk}=-if_{ajk}.}$

La complessificazione dell'algebra di Lie ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$ è ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {C} )}$, lo spazio di tutte le matrici complesse ${\displaystyle n\times n}$ con traccia nulla.^[3] Una sottoalgebra di Cartan consiste quindi delle matrici diagonali con traccia nulla,^[4] che si identifica con i vettori in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ tali che la somma dei loro elementi sia zero. Di conseguenza, le radici sono tutte le ${\displaystyle n(n-1)}$ permutazioni di ${\displaystyle (1,-1,0,\dots ,0)}$.

Una scelta di radici semplici è data da:

${\displaystyle {\begin{aligned}(&1,-1,0,\dots ,0,0),\\(&0,1,-1,\dots ,0,0),\\&\vdots \\(&0,0,0,\dots ,1,-1).\end{aligned}}}$

Pertanto ${\displaystyle SU(n)}$ ha rango ${\displaystyle n-1}$ e il suo diagramma di Dynkin è quello di ${\displaystyle A_{n-1}}$, cioè una catena lineare di ${\displaystyle n-1}$ nodi.^[5] La matrice di Cartan è

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&0&\dots &0\\-1&2&-1&\dots &0\\0&-1&2&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &2\end{pmatrix}}.}$

Il suo gruppo di Weyl o gruppo di Coxeter è il gruppo simmetrico.

Il gruppo SU(2) è dato dalla seguente definizione,^[6]

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~,}$

dove la barra indica l'operazione di coniugazione complessa.

Considerando ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ come coppia in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ dove ${\displaystyle \alpha =a+bi}$ e ${\displaystyle \beta =c+di}$, allora l'equazione ${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$ diventa

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1}$

che equivale all'equazione della 3-sfera S³. Questo può essere anche visto usando un embedding: la mappa

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \colon \mathbb {C} ^{2}&\to \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )\\[5pt]\varphi (\alpha ,\beta )&={\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

dove ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$ indica l'insieme delle matrici complesse 2 per 2, è una mappa lineare reale iniettiva (considerando ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ diffeomorfo a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ e ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$ diffeomorfo a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$). Quindi, la restrizione di ${\displaystyle \varphi }$ alla 3-sfera (siccome il modulo è 1), indicata con ${\displaystyle S^{3}}$, è un embedding della 3-sfera su una sottovarietà compatta di ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$, nello specifico ${\displaystyle \varphi (S^{3})=SU(2)}$.

Pertanto, come varietà, ${\displaystyle S^{3}}$ è diffeomorfa a SU(2), che mostra che SU(2) è semplicemente connesso e che ${\displaystyle S^{3}}$ può essere munita con la struttura di un gruppo di Lie connesso e compatto.

La matrice complessa

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}\quad (a,b,c,d\in \mathbb {R} )}$

può essere mappata a un quaternione come:

${\displaystyle a\,{\hat {1}}+b\,{\hat {i}}+c\,{\hat {j}}+d\,{\hat {k}}}$

e la mappa che li lega è un isomorfismo. Inoltre, il determinante della matrice è la norma al quadrato del corrispondente quaternione. Chiaramente, una matrice in SU(2) ha questa forma e, siccome ha determinante 1, il corrispondente quaternione ha norma 1. Pertanto SU(2) è isomorfo ai quaternioni.^[7]

L'algebra di Lie di SU(2) consiste delle matrici ${\displaystyle 2\times 2}$ antihermitiane a traccia nulla.^[1] Esplicitamente, ciò significa che

${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\left\{{\begin{pmatrix}i\ a&-{\overline {z}}\\z&-i\ a\end{pmatrix}}:\ a\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {C} \right\}~.}$

L'algebra di Lie è quindi generata dalle seguenti matrici,

${\displaystyle u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\quad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}~,}$

che hanno la forma dell'elemento generico del gruppo e sono legati alle matrici di Pauli.dalle formule ${\displaystyle u_{1}=i\ \sigma _{1}~,\,u_{2}=-i\ \sigma _{2}}$ e ${\displaystyle u_{3}=+i\ \sigma _{3}~.}$

Poiché soddisfano le relazioni dei quaternioni ${\displaystyle u_{2}\ u_{3}=-u_{3}\ u_{2}=u_{1}~,}$ ${\displaystyle u_{3}\ u_{1}=-u_{1}\ u_{3}=u_{2}~,}$ e ${\displaystyle u_{1}u_{2}=-u_{2}\ u_{1}=u_{3}}$, il commutatore è quindi specificato da

${\displaystyle \left[u_{3},u_{1}\right]=2\ u_{2},\quad \left[u_{1},u_{2}\right]=2\ u_{3},\quad \left[u_{2},u_{3}\right]=2\ u_{1}~.}$

Questa rappresentazione è usata comunemente in meccanica quantistica per rappresentare lo spin delle particelle fondamentali come l'elettrone.

${\displaystyle SU(3)}$ è un gruppo di Lie semplice di dimensione 8 contenente tutte le matrici unitarie 3×3 con determinante 1. È un gruppo compatto e semplicemente connesso.^[8] La teoria delle rappresentazioni è ampiamente studiata e compresa.^[9]

I generatori ${\displaystyle T}$, dell'algebra di Lie ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$ del gruppo ${\displaystyle SU(3)}$ nella cosiddetta rappresentazione "definente" (anche fondamentale, hermitiana o della fisica delle particelle), sono

${\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}~,}$

dove ${\displaystyle \lambda }$ indica le matrici di Gell-Mann, l'analogo per SU(3) delle matrici di Pauli per SU(2):

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}={}&{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{2}={}&{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{3}={}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{4}={}&{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{5}={}&{\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{6}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\lambda _{7}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

In quanto generatori, combinazioni lineari di queste ${\displaystyle \lambda _{a}}$ coprono tutte le matrici hermitiane a traccia nulla ${\displaystyle H}$. Si osservi che ${\displaystyle \lambda _{2}}$, ${\displaystyle \lambda _{5}}$ e ${\displaystyle \lambda _{7}}$ sono antisimmetriche.

I generatori soddisfano le seguenti relazioni di commutazione e anticommutazione

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[T_{a},T_{b}\right]&=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c},\\\left\{T_{a},T_{b}\right\}&={\frac {1}{3}}\delta _{ab}I_{3}+\sum _{c=1}^{8}d_{abc}T_{c},\end{aligned}}}$

derivate dalla seguente relazione per le matrici di Gell-Mann,

${\displaystyle \{\lambda _{a},\lambda _{b}\}={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I_{3}+2\sum _{c=1}^{8}{d_{abc}\lambda _{c}}}$.

I coefficienti ${\displaystyle f}$ sono le costanti di struttura, determinate da

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{123}&=1,\\f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}&={\frac {1}{2}},\\f_{458}=f_{678}&={\frac {\sqrt {3}}{2}},\end{aligned}}}$

mentre tutte le altre ${\displaystyle f_{abc}}$ che non si ottengono da queste tramite permutazioni sono nulle. In generale, sono nulle a meno che contengano un numero di indici dell'insieme {2, 5, 7}, per cui meno di ¹⁄₆ di tutte le ${\displaystyle f_{abc}}$ sono non nulle.

I coefficienti simmetrici ${\displaystyle d}$ assumono i valori:

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\\d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}&=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\\d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}=-d_{247}=d_{146}=d_{157}=d_{256}&={\frac {1}{2}}~.\end{aligned}}}$

e sono nulli se il numero di indici dell'insieme {2, 5, 7} è dispari.

Un generico elemento del gruppo generato da una matrice hermitiana 3×3 a traccia nulla ${\displaystyle H}$, con la normalizzazione ${\displaystyle \operatorname {tr} (H^{2})=2}$, può essere espresso come un polinomio di matrici del secondo ordine in ${\displaystyle H}$:^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(i\theta H)={}&\left[-{\frac {1}{3}}I\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin(\varphi )-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin(\varphi )\right)}{\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\end{aligned}}}$

dove

${\displaystyle \varphi \equiv {\frac {1}{3}}\left[\arccos \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\det H\right)-{\frac {\pi }{2}}\right].}$

• Brian C. Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, collana Graduate Texts in Mathematics, vol. 222, 2ª ed., Springer, 2015, ISBN 978-3319134666.

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