Polinomi di Bell

Nella matematica combinatoria, i polinomi di Bell, in onore del matematico scozzese Eric Temple Bell, sono una famiglia di polinomi utilizzati nello studio delle partizioni di un insieme. Sono connessi ai numeri di Stirling e di Bell, e compaiono in numerose applicazioni, come ad esempio nella formula di Faà di Bruno.

I polinomi esponenziali parziali o incompleti sono una famiglia di polinomi definiti da

${\displaystyle B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})=\sum {n! \over j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}\left({x_{1} \over 1!}\right)^{j_{1}}\left({x_{2} \over 2!}\right)^{j_{2}}\cdots \left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}},}$

dove la somma è su tutte le sequenze ${\displaystyle j_{1}}$, ${\displaystyle j_{2}}$, ${\displaystyle j_{3}}$, ${\displaystyle \dots }$, ${\displaystyle j_{n-k+1}}$ di interi non negativi tali che le seguenti due condizioni siano soddisfatte:

${\displaystyle j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{n-k+1}=k,}$

${\displaystyle j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n.}$

La somma al variare di ${\displaystyle k}$ dei polinomi incompleti

${\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}$

è chiamata l'n-esimo polinomio di Bell esponenziale completo.

I polinomi di Bell ordinari sono invece definiti come

${\displaystyle {\hat {B}}_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})=\sum {\frac {k!}{j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}}x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\cdots x_{n-k+1}^{j_{n-k+1}},}$

dove la somma è su tutte le sequenze ${\displaystyle j_{1}}$, ${\displaystyle j_{2}}$, ${\displaystyle j_{3}}$, ${\displaystyle \dots }$, ${\displaystyle j_{n-k+1}}$ di interi non negativi tali che

${\displaystyle j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{n-k+1}=k,}$

${\displaystyle j_{1}+2j_{2}+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n.}$

I polinomi di Bell ordinari si possono esprimere in funzione di quelli esponenziali come:

${\displaystyle {\hat {B}}_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})={\frac {k!}{n!}}B_{n,k}(1!\cdot x_{1},2!\cdot x_{2},\ldots ,(n-k+1)!\cdot x_{n-k+1}).}$

In generale, con il termine generico polinomi di Bell ci si riferisce alla versione esponenziale, a meno che non venga specificato esplicitamente.

I polinomi di Bell esponenziali sono collegati ai vari modi in cui un insieme può essere partizionato. Per esempio, se si considera un insieme ${\displaystyle \{A,B,C\}}$, può essere diviso in due insiemi disgiunti e non vuoti, quest'ultimi chiamati anche blocchi, in tre diversi modi:

${\displaystyle \left\{\{A\},\{B,C\}\right\}}$

${\displaystyle \left\{\{B\},\{A,C\}\right\}}$

${\displaystyle \left\{\{C\},\{B,A\}\right\}}$

Questa informazione è codificata all'interno del seguente polinomio di Bell

${\displaystyle B_{3,2}(x_{1},x_{2})=3x_{1}x_{2}.}$

Qui il pedice di ${\displaystyle B_{3,2}}$ indica che stiamo considerando le partizioni di 3 elementi in 2 blocchi, mentre il termine ${\displaystyle x_{i}^{j}}$ indica la presenza di ${\displaystyle j}$ blocchi composti da ${\displaystyle i}$ elementi all'interno di una partizione. Nel caso precedente, ${\displaystyle x_{2}}$ indica la presenza di un solo blocco con due elementi. In modo simile, ${\displaystyle x_{1}}$ mostra la presenza di un unico blocco con un singolo elemento. Il coefficiente del monomio mostra il numero di queste partizioni. Nell'esempio considerato esistono 3 partizioni di un insieme con tre elementi in due blocchi, dove in ogni partizione gli elementi sono divisi in due blocchi di grandezza 1 e 2.

Dato che un insieme può essere diviso in un unico blocco in un solo modo possibile, l'interpretazione precedente implica che ${\displaystyle B_{n,1}=x_{n}}$. In modo simile, poiché esiste un unico modo in cui un insieme di n elementi può essere partizionato in n singoletti, allora ${\displaystyle B_{n,n}=x_{1}^{n}}$.

Un caso più complicato è il seguente

${\displaystyle B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3}^{2}.}$

Da questo polinomio si può inferire che se un insieme di 6 elementi viene diviso in 2 blocchi, allora si possono avere 6 partizioni con blocchi di dimensione 1 e 5, 15 partizioni con blocchi di 4 e 2 elementi, e 10 partizioni con due blocchi di grandezza 3.

La somma dei pedici in un monomio è uguale al numero totale di elementi dell'insieme. Perciò, il numero di monomi che appaiono nel polinomio di Bell parziale è uguale al numero di modi in cui un intero ${\displaystyle n}$ può essere espresso come somma di ${\displaystyle k}$ interi positivi, cioè la partizione dell'intero ${\displaystyle n}$ in ${\displaystyle k}$ parti. Negli esempi precedenti, il numero 3 può essere partizionato in due parti solo come 2+1, perciò ${\displaystyle B_{3,2}}$ è composto da un unico monomio. Al contrario, il numero 6 può essere scritto come 5+1, 4+2 e 3+3, quindi in ${\displaystyle B_{6,2}}$ i monomi sono 3. Il numero totale di monomi che appaiono in un polinomio di Bell completo ${\displaystyle B_{n}}$ è quindi uguale al numero totale di partizioni intere di ${\displaystyle n}$.

Inoltre il grado di ogni monomio, che è la somma degli esponenti di ciascuna variabile nel monomio, è uguale al numero di blocchi in cui l'insieme è diviso. In altre parole, ${\displaystyle j_{1}+j_{2}+\dots =k}$. Di conseguenza, dato un polinomio di Bell completo ${\displaystyle B_{n}}$, si possono separare i vari polinomi parziali ${\displaystyle B_{n,k}}$ raggruppando tutti i monomi di grado ${\displaystyle k}$.

Infine, la somma dei coefficienti del polinomio di Bell parziale ${\displaystyle B_{n,k}}$ darà il numero di partizioni di un insieme di ${\displaystyle n}$ elementi in ${\displaystyle k}$ blocchi, che è la definizione del numero di Stirling di seconda specie ${\displaystyle S(n,k)}$. Inoltre, la somma di tutti i coefficienti del corrispondente polinomio di Bell completo darà il numero totale di partizioni possibili dell'insieme di ${\displaystyle n}$ elementi, e quindi sarà il relativo numero di Bell.

Per esempio, si ha

${\displaystyle B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3}^{2}}$

perché i modi di partizionare un insieme di 6 elementi in 2 blocchi sono

6 modi con ${\displaystyle 5+1}$,

15 modi con ${\displaystyle 4+2}$, e

10 modi con ${\displaystyle 3+3}$.

Similmente,

${\displaystyle B_{6,3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=15x_{4}x_{1}^{2}+60x_{3}x_{2}x_{1}+15x_{2}^{3}}$

perché i modi di partizionare un insieme di 6 elementi in 3 blocchi sono

15 modi con ${\displaystyle 4+1+1}$,

60 modi con ${\displaystyle 3+2+1}$, e

15 modi con ${\displaystyle 2+2+2}$.

I polinomi di Bell parziali possono essere definiti tramite l'espansione della funzione generatrice in una doppia serie:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (t,u)&=\exp \left(u\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)=\sum _{n\geq k\geq 0}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}){\frac {t^{n}}{n!}}u^{k}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}\sum _{k=1}^{n}u^{k}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}).\end{aligned}}}$

In modo equivalente, è l'espansione in serie della k-esima potenza:

${\displaystyle {\frac {1}{k!}}\left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)^{k}=\sum _{n=k}^{\infty }B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}){\frac {t^{n}}{n!}},\qquad k=0,1,2,\ldots }$

I polinomio di Bell completi sono definiti come ${\displaystyle \Phi (t,1)}$, o in altre parole:

${\displaystyle \Phi (t,1)=\exp \left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}){\frac {t^{n}}{n!}}.}$

Perciò, l'n-esimo polinomio completo è dato da

${\displaystyle B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\left.\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{n}\exp \left(\sum _{j=1}^{n}x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)\right|_{t=0}.}$

Similmente, i polinomi di Bell ordinari corrispondono alla funzione generatrice

${\displaystyle {\hat {\Phi }}(t,u)=\exp \left(u\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}t^{j}\right)=\sum _{n\geq k\geq 0}{\hat {B}}_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})t^{n}{\frac {u^{k}}{k!}}.}$

O, equivalentemente, dall'espansione in serie della k-esima potenza:

${\displaystyle \left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}t^{j}\right)^{k}=\sum _{n=k}^{\infty }{\hat {B}}_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})t^{n}.}$

I polinomi di Bell sono fondamentali per calcolare potenze, logaritmi, esponenziali e composizioni di funzioni generatrici^[1].

I polinomi di Bell completi si possono definire ricorsivamente come

${\displaystyle B_{n+1}(x_{1},\ldots ,x_{n+1})=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}B_{n-i}(x_{1},\ldots ,x_{n-i})x_{i+1}}$

con il valore iniziale ${\displaystyle B_{0}=1}$.

I polinomi parziali invece si possono calcolare in modo efficiente dalla seguente relazione di ricorrenza:

${\displaystyle B_{n,k}=\sum _{i=1}^{n-k+1}{\binom {n-1}{i-1}}x_{i}B_{n-i,k-1},}$

where

${\displaystyle B_{0,0}=1;}$

${\displaystyle B_{n,0}=0{\text{ per }}n\geq 1;}$

${\displaystyle B_{0,k}=0{\text{ per }}k\geq 1.}$

I polinomi completi inoltre soddisfano la ricorrenza differenziale^[2]:

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {1}{n-1}}\left[\sum _{i=2}^{n}\right.&\sum _{j=1}^{i-1}(i-1){\binom {i-2}{j-1}}x_{j}x_{i-j}{\frac {\partial B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}}}\\[5pt]&\left.{}+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{i-1}{\frac {x_{i+1}}{\binom {i}{j}}}{\frac {\partial ^{2}B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{j}\partial x_{i-j}}}\right.\\[5pt]&\left.{}+\sum _{i=2}^{n}x_{i}{\frac {\partial B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}}}\right].\end{aligned}}}$

Le derivate parziali dei polinomi di Bell completi sono date da^[3]

${\displaystyle {\frac {\partial B_{n}}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\binom {n}{i}}B_{n-i}(x_{1},\ldots ,x_{n-i}).}$

In modo simile, le derivate parziali dei polinomi di Bell incompleti sono

${\displaystyle {\frac {\partial B_{n,k}}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})={\binom {n}{i}}B_{n-i,k-1}(x_{1},\ldots ,x_{n-i-k+2}).}$

Se gli argomenti dei polinomi di Bell sono funzioni unidimensionali, si può usare la regola della catena per ottenere

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(B_{n,k}(a_{1}(x),\cdots ,a_{n-k+1}(x))\right)=\sum _{i=1}^{n-k+1}{\binom {n}{i}}a_{i}'(x)B_{n-i,k-1}(a_{1}(x),\cdots ,a_{n-i-k+2}(x)).}$

Si possono esprimere i polinomi di Bell completi come dei determinanti nei due seguenti modi:

${\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}x_{1}&{n-1 \choose 1}x_{2}&{n-1 \choose 2}x_{3}&{n-1 \choose 3}x_{4}&\cdots &\cdots &x_{n}\\\\-1&x_{1}&{n-2 \choose 1}x_{2}&{n-2 \choose 2}x_{3}&\cdots &\cdots &x_{n-1}\\\\0&-1&x_{1}&{n-3 \choose 1}x_{2}&\cdots &\cdots &x_{n-2}\\\\0&0&-1&x_{1}&\cdots &\cdots &x_{n-3}\\\\0&0&0&-1&\cdots &\cdots &x_{n-4}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\\0&0&0&0&\cdots &-1&x_{1}\end{bmatrix}}}$

e

${\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}{\frac {x_{1}}{0!}}&{\frac {x_{2}}{1!}}&{\frac {x_{3}}{2!}}&{\frac {x_{4}}{3!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n}}{(n-1)!}}\\\\-1&{\frac {x_{1}}{0!}}&{\frac {x_{2}}{1!}}&{\frac {x_{3}}{2!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-1}}{(n-2)!}}\\\\0&-2&{\frac {x_{1}}{0!}}&{\frac {x_{2}}{1!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-2}}{(n-3)!}}\\\\0&0&-3&{\frac {x_{1}}{0!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-3}}{(n-4)!}}\\\\0&0&0&-4&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-4}}{(n-5)!}}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\\0&0&0&0&\cdots &-(n-1)&{\frac {x_{1}}{0!}}\end{bmatrix}}.}$

Il valore del polinomio di Bell incompleto ${\displaystyle B_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots )}$ calcolato sulla sequenza dei fattoriali è uguale a un numero di Stirling di prima specie senza segno:

${\displaystyle B_{n,k}(0!,1!,\dots ,(n-k)!)=c(n,k)=|s(n,k)|=\left[{n \atop k}\right].}$

La somma di questi numeri da il valore del polinomio di Bell completo sulla sequenza dei fattoriali:

${\displaystyle B_{n}(0!,1!,\dots ,(n-1)!)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(0!,1!,\dots ,(n-k)!)=\sum _{k=1}^{n}\left[{n \atop k}\right]=n!.}$

Il valore del polinomio ${\displaystyle B_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots )}$ calcolato su una sequenza di 1 è uguale a un numero di Stirling di seconda specie:

${\displaystyle B_{n,k}(1,1,\dots ,1)=S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}.}$

La somma di questi numeri da il valore del polinomio di Bell completo sulla n-upla di 1:

${\displaystyle B_{n}(1,1,\dots ,1)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(1,1,\dots ,1)=\sum _{k=1}^{n}\left\{{n \atop k}\right\},}$

che è l'n-esimo numero di Bell.

Se si definisce

${\displaystyle y_{n}=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}),}$

allora si ha la relazione inversa

${\displaystyle x_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(y_{1},\ldots ,y_{n-k+1}).}$

Il polinomio di Touchard ${\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}\cdot x^{k}}$ può essere espresso come un polinomio di Bell completo con tutte le variabili uguali a ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle T_{n}(x)=B_{n}(x,x,\dots ,x).}$

Per le successioni ${\displaystyle x_{n}}$ e ${\displaystyle y_{n}}$ viene definita una convoluzione tramite:

${\displaystyle (x{\mathbin {\diamondsuit }}y)_{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{n \choose j}x_{j}y_{n-j}.}$

Da notare che i limiti della sommatoria sono ${\displaystyle 1}$ e ${\displaystyle n-1}$ .

Sia ${\displaystyle x_{n}^{k\diamondsuit }}$ l'n-esimo termine della successione

${\displaystyle \displaystyle \underbrace {x{\mathbin {\diamondsuit }}\cdots {\mathbin {\diamondsuit }}x} _{k{\text{ factors}}}.\,}$

Allora^[4]

${\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n-k+1})={x_{n}^{k\diamondsuit } \over k!}.\,}$

Per esempio, per quanto riguarda ${\displaystyle B_{4,3}(x_{1},x_{2})}$, si ha

${\displaystyle x=(x_{1}\ ,\ x_{2}\ ,\ x_{3}\ ,\ x_{4}\ ,\dots )}$

${\displaystyle x{\mathbin {\diamondsuit }}x=(0,\ 2x_{1}^{2}\ ,\ 6x_{1}x_{2}\ ,\ 8x_{1}x_{3}+6x_{2}^{2}\ ,\dots )}$

${\displaystyle x{\mathbin {\diamondsuit }}x{\mathbin {\diamondsuit }}x=(0\ ,\ 0\ ,\ 6x_{1}^{3}\ ,\ 36x_{1}^{2}x_{2}\ ,\dots )}$

e quindi,

${\displaystyle B_{4,3}(x_{1},x_{2})={\frac {(x{\mathbin {\diamondsuit }}x{\mathbin {\diamondsuit }}x)_{4}}{3!}}=6x_{1}^{2}x_{2}.}$

• ${\displaystyle B_{n,k}(1!,2!,\ldots ,(n-k+1)!)={\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}=L(n,k)}$ che è il numero di Lah.
• ${\displaystyle B_{n,k}(1,2,3,\ldots ,n-k+1)={\binom {n}{k}}k^{n-k}}$, che è collegato al numero di funzioni idempotenti di un insieme di ${\displaystyle n}$ elementi.
• ${\displaystyle B_{n,k}(-x_{1},x_{2},-x_{3},\ldots ,(-1)^{n-k}x_{n-k+1})=(-1)^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n-k+1})}$ and ${\displaystyle B_{n}(-x_{1},x_{2},-x_{3},\ldots ,(-1)^{n-1}x_{n})=(-1)^{n}B_{n}(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n})}$.
• I polinomi di Bell completi soddisfano una relazione di tipo binomiale:

  ${\displaystyle B_{n}(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n})=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}B_{n-i}(x_{1},\ldots ,x_{n-i})B_{i}(y_{1},\ldots ,y_{i}),}$

• ${\displaystyle B_{n,k}{\Bigl (}{\frac {x_{q+1}}{\binom {q+1}{q}}},{\frac {x_{q+2}}{\binom {q+2}{q}}},\ldots {\Bigr )}={\frac {n!(q!)^{k}}{(n+qk)!}}B_{n+qk,k}(\ldots ,0,0,x_{q+1},x_{q+2},\ldots ).}$
• Quando ${\displaystyle 1\leq a<n}$,

${\displaystyle B_{n,n-a}(x_{1},\ldots ,x_{a+1})=\sum _{j=a+1}^{2a}{\frac {j!}{a!}}{\binom {n}{j}}(x_{1})^{n-j}B_{a,j-a}{\Bigl (}{\frac {x_{2}}{2}},{\frac {x_{3}}{3}},\ldots ,{\frac {x_{2(a+1)-j}}{2(a+1)-j}}{\Bigr )}.}$

• Casi particolari di polinomi di Bell parziali:

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n,1}(x_{1},\ldots ,x_{n})={}&x_{n}\\[8pt]B_{n,2}(x_{1},\ldots ,x_{n-1})={}&{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {n}{k}}x_{k}x_{n-k}\\[8pt]B_{n,n}(x_{1})={}&(x_{1})^{n}\\[8pt]B_{n,n-1}(x_{1},x_{2})={}&{\binom {n}{2}}(x_{1})^{n-2}x_{2}\\[8pt]B_{n,n-2}(x_{1},x_{2},x_{3})={}&{\binom {n}{3}}(x_{1})^{n-3}x_{3}+3{\binom {n}{4}}(x_{1})^{n-4}(x_{2})^{2}\\[8pt]B_{n,n-3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})={}&{\binom {n}{4}}(x_{1})^{n-4}x_{4}+10{\binom {n}{5}}(x_{1})^{n-5}x_{2}x_{3}+15{\binom {n}{6}}(x_{1})^{n-6}(x_{2})^{3}\\[8pt]B_{n,n-4}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})={}&{\binom {n}{5}}(x_{1})^{n-5}x_{5}+5{\binom {n}{6}}(x_{1})^{n-6}{\bigl [}3x_{2}x_{4}+2(x_{3})^{2}{\bigr ]}+105{\binom {n}{7}}(x_{1})^{n-7}(x_{2})^{2}x_{3}\\{}&{}+105{\binom {n}{8}}(x_{1})^{n-8}(x_{2})^{4}.\end{aligned}}}$

I primi polinomi di Bell completi sono:

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}={}&1,\\[8pt]B_{1}(x_{1})={}&x_{1},\\[8pt]B_{2}(x_{1},x_{2})={}&x_{1}^{2}+x_{2},\\[8pt]B_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})={}&x_{1}^{3}+3x_{1}x_{2}+x_{3},\\[8pt]B_{4}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})={}&x_{1}^{4}+6x_{1}^{2}x_{2}+4x_{1}x_{3}+3x_{2}^{2}+x_{4},\\[8pt]B_{5}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})={}&x_{1}^{5}+10x_{2}x_{1}^{3}+15x_{2}^{2}x_{1}+10x_{3}x_{1}^{2}+10x_{3}x_{2}+5x_{4}x_{1}+x_{5}\\[8pt]B_{6}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6})={}&x_{1}^{6}+15x_{2}x_{1}^{4}+20x_{3}x_{1}^{3}+45x_{2}^{2}x_{1}^{2}+15x_{2}^{3}+60x_{3}x_{2}x_{1}\\&{}+15x_{4}x_{1}^{2}+10x_{3}^{2}+15x_{4}x_{2}+6x_{5}x_{1}+x_{6},\\[8pt]B_{7}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7})={}&x_{1}^{7}+21x_{1}^{5}x_{2}+35x_{1}^{4}x_{3}+105x_{1}^{3}x_{2}^{2}+35x_{1}^{3}x_{4}\\&{}+210x_{1}^{2}x_{2}x_{3}+105x_{1}x_{2}^{3}+21x_{1}^{2}x_{5}+105x_{1}x_{2}x_{4}\\&{}+70x_{1}x_{3}^{2}+105x_{2}^{2}x_{3}+7x_{1}x_{6}+21x_{2}x_{5}+35x_{3}x_{4}+x_{7}.\end{aligned}}}$

Lo stesso argomento in dettaglio: Formula di Faà di Bruno.

La formula di Faà di Bruno può essere espressa in termini dei polinomi di Bell nel modo seguente:

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x))B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).}$

La versione con le serie di potenze afferma che se

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\qquad {\text{e}}\qquad g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n} \over n!}x^{n}}$

allora

${\displaystyle g(f(x))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sum _{k=1}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})}{n!}}x^{n}.}$

Un caso particolare è l'esponenziale di una serie formale di potenze:

${\displaystyle \exp \left(\sum _{i=1}^{\infty }{a_{i} \over i!}x^{i}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n}) \over n!}x^{n},}$

che rappresenta anche la funzione generatrice esponenziale dei polinomi di Bell completi calcolata su una sequenza fissata di valori ${\displaystyle \{a_{1},a_{2},\dots \}}$.

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di inversione di Lagrange.

Siano due funzioni ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ espresse in serie formali di potenze come

${\displaystyle f(w)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}{\frac {w^{k}}{k!}},\qquad {\text{e}}\qquad g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}{\frac {z^{k}}{k!}},}$

tale che ${\displaystyle g}$ è l'inversa di ${\displaystyle f}$, definita da ${\displaystyle g(f(w))=w}$ oppure ${\displaystyle f(g(z))=z}$. Se ${\displaystyle f_{0}=0}$ e ${\displaystyle f_{1}\neq 0}$, allora esiste una forma esplicita dei coefficienti dell'inversa in termini dei polinomi di Bell^[5]:

${\displaystyle g_{n}={\frac {1}{f_{1}^{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}n^{\bar {k}}B_{n-1,k}({\hat {f}}_{1},{\hat {f}}_{2},\ldots ,{\hat {f}}_{n-k}),\qquad n\geq 2,}$

con ${\displaystyle {\hat {f}}_{k}={\frac {f_{k+1}}{(k+1)f_{1}}}}$, ${\displaystyle n^{\bar {k}}=n(n+1)\cdots (n+k-1)}$ il fattoriale crescente, e ${\displaystyle g_{1}={\frac {1}{f_{1}}}.}$

Lo stesso argomento in dettaglio: Metodo di Laplace.

Si consideri l'integrale della forma

${\displaystyle I(\lambda )=\int _{a}^{b}e^{-\lambda f(x)}g(x)\,\mathrm {d} x,}$

dove ${\displaystyle (a,b)}$ è un intervallo reale (anche infinito), ${\displaystyle \lambda }$ è un parametro positivo sufficientemente grande, e le funzioni ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ sono continue. La funzione ${\displaystyle f}$ ha un solo minimo in ${\displaystyle [a,b]}$ che lo assume in ${\displaystyle x=a}$. Si assuma che per ${\displaystyle x\to a^{+}}$,

${\displaystyle f(x)\sim f(a)+\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(x-a)^{k+\alpha },}$

${\displaystyle g(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(x-a)^{k+\beta -1},}$

con ${\displaystyle \alpha >0}$, ${\displaystyle \Re (\beta )>0}$; e che l'espansione di ${\displaystyle f}$ possa essere derivata termine a termine. Allora, il teorema di Laplace–Erdelyi afferma che l'espansione asintotica dell'integrale ${\displaystyle I(\lambda )}$ è data da

${\displaystyle I(\lambda )\sim e^{-\lambda f(a)}\sum _{n=0}^{\infty }\Gamma {\Big (}{\frac {n+\beta }{\alpha }}{\Big )}{\frac {c_{n}}{\lambda ^{(n+\beta )/\alpha }}}\qquad {\text{per}}\quad \lambda \rightarrow \infty ,}$

dove i coefficienti ${\displaystyle c_{n}}$ sono esprimibili in termini di ${\displaystyle a_{n}}$ e ${\displaystyle b_{n}}$ usando i polinomi di Bell ordinari grazie alla formula di Campbell–Froman–Walles–Wojdylo:

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{\alpha a_{0}^{(n+\beta )/\alpha }}}\sum _{k=0}^{n}b_{n-k}\sum _{j=0}^{k}{\binom {-{\frac {n+\beta }{\alpha }}}{j}}{\frac {1}{a_{0}^{j}}}{\hat {B}}_{k,j}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k-j+1}).}$

Lo stesso argomento in dettaglio: Identità di Newton.

Il polinomio simmetrico elementare ${\displaystyle e_{n}}$ e il polinomio simmetrico ${\displaystyle p_{n}}$ ottenuto con somma di potenze n-esime sono in relazione tra loro tramite i polinomi di Bell:

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{n}&={\frac {1}{n!}}\;B_{n}(p_{1},-1!p_{2},2!p_{3},-3!p_{4},\ldots ,(-1)^{n-1}(n-1)!p_{n})\\&={\frac {(-1)^{n}}{n!}}\;B_{n}(-p_{1},-1!p_{2},-2!p_{3},-3!p_{4},\ldots ,-(n-1)!p_{n}),\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}&={\frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}}\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!\;B_{n,k}(e_{1},2!e_{2},3!e_{3},\ldots ,(n-k+1)!e_{n-k+1})\\&=(-1)^{n}\;n\;\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\;{\hat {B}}_{n,k}(-e_{1},\dots ,-e_{n-k+1}).\end{aligned}}}$