Tertium non datur

Tertium non datur (tradotto: «Una terza cosa non è data») è una locuzione che sta a significare che non esiste una terza soluzione rispetto ad una situazione che sembra prefigurarne soltanto due. Si potrebbe leggere quindi come: «Non ci sono altre possibilità eccetto queste due». In italiano è detto anche terzo escluso.

L'articolazione della frase, nella sua secchezza e laconicità, è piuttosto semplice: datur è la terza persona singolare passiva del verbo dare (quindi «è dato») e tertium figura come aggettivo neutro sostantivato, in quanto riferito a res, ovvero «cosa»: quando la parola res è sottintesa, l'aggettivo prende il genere neutro. La negazione non compare con lo stesso uso che ne fa la lingua italiana.

Enunciato

A	$\neg A$	$A\vee (\neg A)$
V	F	V
F	V	V

Logica e principio del terzo escluso

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L'espressione entra nella formulazione del principio logico del terzo escluso che afferma che due proposizioni formanti una coppia antifatica (p e ¬p) devono avere valore di verità opposto, ovvero non esiste una terza possibilità (Tertium non datur). Esso si trova già formulato nella Metafisica di Aristotele.

In altre parole, non è possibile che due proposizioni contraddittorie siano entrambe non vere, in quanto esso afferma che il valore di verità di una proposizione è sempre opposto a quello della proposizione contraddittoria. Il principio del tertium non datur è più generale del principio di non-contraddizione o di consistenza e implica che se una proposizione è vera, non lo è il suo contrario, fatto che a priori non esclude che entrambe possano essere non vere. Il principio si differenzia anche dal principio di bivalenza che afferma che una proposizione è vera o è falsa.

Le teorie sui fondamenti della matematica, in particolare la scuola intuizionista, non ne danno oggi per scontata l'autoevidenza. La logica fuzzy rifiuta questo principio perché i valori di verità sono presi nell'intervallo chiuso tra vero e falso nel campo dei numeri reali, violandone la polarità. In tutte le logiche in cui i valori di verità sono polari questo principio conserva ancora tutta la sua validità, come si dimostra in logica binaria.

Nella logica proposizionale

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Nell'ambito della logica proposizionale, il principio del terzo escluso è formalizzato nel modo seguente:

p\vee \neg p

,

dimostrata dai seguenti passaggi:

Dipende dalla riga n.	Riga n.	F.b.f.	Regola applicata	Righe di applicazione della regola
1	(1)	$\neg (P\vee \neg P)$	assunzione (A)
2	(2)	P	assunzione (A)
2	(3)	$P\vee \neg P$	Introduzione della disgiunzione (I_V)	2
1,2	(4)	$(P\vee \neg P)\wedge [\neg (P\vee \neg P)]$	Introduzione della congiunzione (I_∧)	3 , 1
1	(5)	$\neg P$	Reductio ad absurdum (RAA)	2 , 4
1	(6)	$(P\vee \neg P)$	Introduzione della disgiunzione (I_V)	5
1	(7)	$(P\vee \neg P)\wedge [\neg (P\vee \neg P)]$	Introduzione della disgiunzione (I_V)	6 , 1
	(8)	$\neg \neg (P\vee \neg P)$	Reductio ad absurdum (RAA)	1 , 7
	(9)	$(P\vee \neg P)$	Doppia negazione	8

La tesi era già dimostrata in corrispondenza della riga (6), che tuttavia dipendeva ancora da un'ipotesi, quella assunta nella riga (1). Il principio logico, invece, è universalmente vero e non dipende da alcuna ipotesi, nemmeno quelle assunte in ordine alla tesi da dimostrare. I passaggi dalla riga (7) alla riga (9) comprese sono necessaria per escludere la dipendenza della tesi da qualsivoglia assunzione.

Dal principio del terzo escluso, discendono le due seguenti leggi logiche:

[P\rightarrow \neg P]\vdash \neg P

(1*)

P\rightarrow Q,P\rightarrow \neg Q\vdash \neg P

(2*)

Inoltre, mediante altri teoremi, si dimostra anche che $[(\neg P)\vee Q]\vdash [P\rightarrow Q]$ ^[1] (3*), verità logica che, ponendo $Q=P$ , permette di derivare la legge di identità $P\rightarrow P$ a partire dal principio del terzo escluso assunto come premessa. Se invece si pone $Q=\neg \neg P$ , allora si ha che $[\neg P\vee (\neg \neg P)]\vdash [P\rightarrow (\neg \neg P)]$ , che è la prima delle due leggi della doppia negazione. Si noti a questo punto che la parte a destra dell'ultima espressione di sequenza è una legge della logica proposizionale, la sua premessa $\neg P\vee (\neg \neg P)$ è in realtà universalmente valida ed è una riscrittura del principio del terzo escluso. La seconda legge di identità afferma che $\neg \neg P\rightarrow P$ .
Si dimostra anche che è valido il reciproco della precedente proprietà, cioè $P\rightarrow Q\vdash \neg P\vee Q$ ^[2] (4*): ponendo di nuovo $Q=\neg P$ , si ha che $[P\rightarrow \neg P]\vdash [\neg P\vee (\neg P)]$ , e per la (1*) si ha che $\neg P\vdash \neg P\vee (\neg P)$ .

Tradotti in parole, la prima legge afferma che se una cosa implica il suo contrario, allora non può esistere. Ciò smentisce seccamente il noto proverbio secondo il quale i contrari si coimplicherebbero a vicenda, nonché il divenire dell'uno nell'altro reciprocamente. Il corrispondente detto latino è: contraria reciprocantur seu convertuntur.
La seconda legge afferma che un ente non può essere la causa di un effetto e della sua negazione logica, interpretata nella metafisica come il suo contrario o opposto. Ciò ha rilevanti implicazioni logiche e matematiche nella fattibilità della dialettica degli enti secondo Hegel: tesi, antitesi e sintesi.

Data la loro importanza, si riportano in breve le rispettive dimostrazioni:

**Tesi**: $P\rightarrow \neg P\vdash \neg P$
Dipende dalla riga n.	Riga n.	F.b.f.	Regola applicata	Righe di applicazione della regola
1	(1)	$P\rightarrow \neg P$	assunzione (A)
2	(2)	P	assunzione (A)
1,2	(3)	$\neg P$	modus ponendo ponens (MPP)	1 , 2
2,3	(4)	$P\wedge (\neg P)$	Introduzione della congiunzione (I_∧)	2, 3
1	(5)	$\neg P$	Reductio ad absurdum (RAA)	2 , 4

La dimostrazione procede per assurdo. Nella riga (2) viene assunta la negazione della tesi da dimostrare, che è $\neg P$ . Per la regola della doppia negazione (passaggio omesso) si ha che $[\neg (\neg P)]=\neg \neg P=P$ . Si arriva ad una contraddizione nella riga (4), che per il principio di non-contraddizione non può essere vera. Allora, si può applicare la regola della riduzione all'impossibile, che, in presenza di una contraddizione, impone di negare l'assunzione che la causa, vale a dire la riga (2). Negando la negazione della tesi nella riga (2), la tesi $\neg \neg \neg P=\neg P$ risulta verificata.

La dimostrazione della seconda legge è la seguente:

**Tesi**: $P\rightarrow Q,P\rightarrow \neg Q\vdash \neg P$
Dipende dalla riga n.	Riga n.	F.b.f.	Regola applicata	Righe di applicazione della regola
1	(1)	$P\rightarrow Q$	assunzione (A)
2	(2)	$P\rightarrow \neg Q$	assunzione (A)
3	(3)	P	assunzione (A)
1,3	(4)	Q	modus ponendo ponens (MPP)	1 , 3
1,4	(5)	$\neg Q$	assunzione (A)	1 , 4
1,3,4	(6)	$Q\wedge \neg Q$	Introduzione della congiunzione (I_∧)	4 , 5
3, 1, 4^[3]	(7)	$\neg P$	Reductio ad absurdum (RAA)	3 , 6

La dimostrazione procede per assurdo. Viene assunta come ipotesi la negazione della tesi da dimostrare che è $\neg P$ . Tale ipotesi $\neg \neg P$ diviene $P$ per la regola della doppia negazione il cui passaggio viene normalmente omesso nel procedimento per assurdo. L'applicazione del modus ponendo ponens alle due premesse nelle righe (4) e (5) conduce alla contraddizione della (6), passaggio necessario per concludere l'impossibilità e irrealtà dell'ipotesi alla riga (3) che viene quindi negata alla (7). Come volevasi dimostrare.

Note

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^ Edward John Lemmon, Elementi di logica con gli esercizi risolti, Laterza, 2017, p. 65, ISBN 978-88-420-2772-0
^ Edward John Lemmon, Elementi di logica con gli esercizi risolti, Laterza, 2017, p. 66 (dimostrazione n. 49), ISBN 978-88-420-2772-0
^ Deriva dall'unione delle assunzioni della (3) che è la f.b.f stessa e quelle della (6) che sono le righe identificate nell'insieme (1,3,4)