Lemma di Kronecker

In matematica, il lemma di Kronecker è un risultato sulla relazione tra la convergenza di una successione e la convergenza di una particolare serie relativa ad essa. ^[1] Il lemma è spesso utilizzato nelle dimostrazioni di teoremi sulle somme di variabili aleatorie indipendenti, come la legge dei grandi numeri. Il nome del lemma è dovuto al matematico tedesco Leopold Kronecker.

Se ${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}$ è una successione infinita di numeri reali tale che

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }x_{m}=s}$

esiste ed è finito, allora per ogni successione crescente ${\displaystyle 0<b_{1}\leq b_{2}\leq b_{3}\leq \ldots }$ e ${\displaystyle b_{n}\to \infty }$ si ha che

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}=0.}$

Siano ${\displaystyle S_{k}}$ le somma parziali della successione ${\displaystyle x_{n}}$. Usando la sommazione per parti,

${\displaystyle {\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}=S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}}$

Preso un ${\displaystyle \epsilon >0}$, si sceglie ${\displaystyle N}$ in modo che ${\displaystyle |S_{k}-s|<\epsilon }$ per ogni ${\displaystyle k>N}$, sempre possibile poiché la successione converge a ${\displaystyle s}$. Allora il membro destro è:

${\displaystyle S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}}$

${\displaystyle =S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})s-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})(S_{k}-s)}$

${\displaystyle =S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {b_{n}-b_{N}}{b_{n}}}s-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})(S_{k}-s).}$

Ora, facendo tendere ${\displaystyle n}$ all'infinito, il primo termine tende a ${\displaystyle s}$, che si cancella con il terzo. Il secondo termine va a zero (poiché la sommatoria è su un numeri finito di termini). Dal momento che la successione ${\displaystyle b}$ è crescente, l'ultimo addendo è maggiorato da ${\displaystyle \epsilon (b_{n}-b_{N})/b_{n}\leq \epsilon }$. Quindi riassumendo, per ogni ${\displaystyle \epsilon >0}$ si può trovare un ${\displaystyle N}$ tale che

${\displaystyle \left|{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}\right|<\epsilon }$

per ogni ${\displaystyle n>N}$, e allora per definizione di limite di una successione si ha che

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}=0.}$

• Legge dei grandi numeri
• Teorema delle tre serie di Kolmogorov
• Sommazione per parti

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