In matematica, il lemma di Kronecker è un risultato sulla relazione tra la convergenza di una successione e la convergenza di una particolare serie relativa ad essa. [1] Il lemma è spesso utilizzato nelle dimostrazioni di teoremi sulle somme di variabili aleatorie indipendenti, come la legge dei grandi numeri. Il nome del lemma è dovuto al matematico tedesco Leopold Kronecker.
Se
è una successione infinita di numeri reali tale che
![{\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }x_{m}=s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e640bf21f420d7755259b82fc004fdb93ca6743)
esiste ed è finito, allora per ogni successione crescente
e
si ha che
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a10d426d86e21d68d97f5b4523c6c99aaddbf6b)
Siano
le somma parziali della successione
. Usando la sommazione per parti,
![{\displaystyle {\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}=S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be675a0ce42045c80df4d53c84216d890de176b9)
Preso un
, si sceglie
in modo che
per ogni
, sempre possibile poiché la successione converge a
. Allora il membro destro è:
![{\displaystyle S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7732ac37e519be04ddc26cd323097eced13715d)
![{\displaystyle =S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})s-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})(S_{k}-s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8711e0e5ee317043827509e24c67b829a766aeef)
![{\displaystyle =S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {b_{n}-b_{N}}{b_{n}}}s-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})(S_{k}-s).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e9deb18cb5d5430976af51473e4acdf3f1f5e3)
Ora, facendo tendere
all'infinito, il primo termine tende a
, che si cancella con il terzo. Il secondo termine va a zero (poiché la sommatoria è su un numeri finito di termini). Dal momento che la successione
è crescente, l'ultimo addendo è maggiorato da
. Quindi riassumendo, per ogni
si può trovare un
tale che
![{\displaystyle \left|{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}\right|<\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67a0749a90983408ad9f2e58a6ad78e19dbb3c98)
per ogni
, e allora per definizione di limite di una successione si ha che
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a10d426d86e21d68d97f5b4523c6c99aaddbf6b)