Funzione a variazione limitata
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In analisi matematica una funzione di variabile reale si dice a variazione limitata se la sua "variazione totale" è finita. Intuitivamente, le funzioni a variazione limitata in una variabile sono quelle per cui la distanza percorsa da un punto che si muove lungo il suo grafico è finita in ogni intervallo finito. Una funzione che non è a variazione limitata è il cosiddetto "seno del topologo", cioè
se considerata in un qualsiasi intervallo che contenga lo 0, poiché all'avvicinarsi di a 0, la curva presenta infinite oscillazioni tra -1 e 1.
In più dimensioni il significato della definizione è lo stesso, tranne per il fatto che il cammino dell'ipotetico punto non può essere tutto il grafico della funzione (che sarà in generale una superficie o una ipersuperficie), ma sarà ogni intersezione di tale grafico con un piano parallelo agli assi.
Le funzioni a variazione limitata rivestono una notevole importanza nell'integrale di Riemann-Stieltjes e nel calcolo delle variazioni, poiché risultano essere le scelte naturali per trovare la soluzione in problemi di superficie minima come il problema di Didone.
Definizione
[modifica | modifica wikitesto]Funzioni di una variabile
[modifica | modifica wikitesto]Si definiscono innanzitutto le variazioni (rispettivamente positiva, negativa e totale) di una funzione definita in un intervallo chiuso e limitato a valori reali come
dove è un'arbitraria partizione dell'intervallo e il suo calibro (ossia l'ampiezza del massimo intervallo della partizione); e sono la parte positiva e parte negativa di una funzione.
Vale la relazione
e che se la funzione è monotona a tratti, allora la sua variazione totale è la somma delle variazioni in ogni singolo intervallino di monotonia.
Si dice dunque che è a variazione limitata e si scrive se .
Si può provare che è a variazione limitata se e solo se si può scrivere come differenza di due funzioni monotone non decrescenti (decomposizione di Jordan). Una possibile decomposizione è ad esempio
in quanto variazione positiva e negativa sono quantità sempre maggiori o uguali a zero, quindi monotone al crescere dell'intervallo. Per lo stesso motivo, nella definizione di , e si poteva prendere equivalentemente l'estremo superiore invece del limite superiore.
Funzioni di più variabili
[modifica | modifica wikitesto]Per funzioni di più variabili si possono dare due definizioni, che risultano equivalenti ( sarà un insieme aperto in ):
- Una integrabile si dice a variazione limitata, , se esiste una misura di Radon vettoriale finita tale che
- ,
cioè definisce un funzionale lineare sullo spazio delle funzioni vettoriali a supporto compatto. rappresenta un gradiente debole di .
- Una integrabile si dice a variazione limitata, , se la sua variazione totale
è finita.
Equivalenza delle definizioni
[modifica | modifica wikitesto]Supponendo sia valida la prima definizione, allora è esattamente la norma del funzionale (visto come operatore lineare continuo) che esiste per ipotesi, dunque è necessariamente finita.
Il viceversa si ottiene dalla disuguaglianza
che implica che è un funzionale lineare continuo sullo spazio , che è un sottospazio lineare di ; tale funzionale si estende allora per linearità e continuità a tutto lo spazio grazie al teorema di Hahn-Banach, quindi definisce una misura di Radon.
Esempi
[modifica | modifica wikitesto]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/db/X%5E2sin%28x%5E-1%29.svg/220px-X%5E2sin%28x%5E-1%29.svg.png)
È già stato dato un esempio di funzione che non è a variazione limitata. La stessa funzione, però, è a variazione limitata in ogni intervallo ad esempio, con , poiché la "singolarità" è presente solo nell'origine. È quindi chiaro come questa sia una proprietà che dipende anche dalla forma del dominio.
Risulta essere a variazione limitata in invece la funzione
Mentre pur essendo uniformemente continua non è a variazione limitata la funzione in
perché l'integrale del modulo della derivata diverge.
Un'importante classe di funzioni che risultano essere a variazione limitata sono le funzioni integrabili con derivata a sua volta integrabile, cioè gli elementi dello spazio di Sobolev (in una variabile e su un intervallo limitato, questa classe non è altro che la classe delle funzioni assolutamente continue, a meno di rappresentanti).
Proprietà
[modifica | modifica wikitesto]In una variabile, dalla definizione risulta subito che una funzione BV è in particolare limitata. Inoltre, essa è derivabile quasi ovunque e ammette al più solo discontinuità di prima specie: questo discende dalla decomposizione di Jordan in differenza di due funzioni monotone (le funzioni monotone possiedono le proprietà dette). Risulta anche
con l'uguaglianza valida se e solo se la funzione è assolutamente continua.
Sempre riguardo alla decomposizione di Jordan, e sono le funzioni monotone "minimali" per cui valga la rappresentazione, nel senso che se
- ,
con e monotone, allora
- e .
In generale, lo spazio funzionale è uno spazio vettoriale: risulta essere uno spazio di Banach se munito della norma
Sempre riguardo agli aspetti di analisi funzionale, si dimostra anche che il funzionale variazione è semicontinuo inferiormente rispetto alla norma di , cioè se in norma , allora
- .
Per le funzioni BV vale una versione leggermente modificata della regola della catena: se e allora e
dove
è il valor medio della funzione nel punto . Da questo teorema discende anche che il prodotto di due funzioni BV è ancora BV; ciò rende lo spazio un'algebra di Banach.
Osservazione: è possibile dimostrare che il prodotto di due funzioni a variazione limitata è ancora una funzione a variazione limitata senza fare ricorso alle derivate. In questo caso il risultato si estende alle funzioni a variazione limitata da un intervallo [0,T] a uno spazio di Banach X.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]- Funzione limitata
- Funzione assolutamente continua
- Spazio di Sobolev
- Calcolo delle variazioni
- Misura di Radon
- Integrale di Riemann-Stieltjes
- Teorema di Helly
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]Controllo di autorità | Thesaurus BNCF 67335 · LCCN (EN) sh85052355 · GND (DE) 4155666-5 · BNF (FR) cb12291997k (data) · J9U (EN, HE) 987007553156305171 |
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