Algebra di Lie graduata

In matematica, un'algebra di Lie si dice graduata quando è dotata di una gradazione compatibile con le parentesi di Lie. In altre parole, essa è un'algebra di Lie che è un'algebra graduata non-associativa nel quadro dell'operazione di commutazione.

Questo concetto viene esteso nella superalgebra di Lie graduata, in cui si richiede che le parentesi di Lie non siano necessariamente anticommutative.

Nella forma più elementare, un'algebra di Lie graduata è un'ordinaria algebra di Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ con una gradazione degli spazi vettoriali^[1]:

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\bigoplus _{i\in {\mathbb {Z} }}{\mathfrak {g}}_{i},}$

tale che le parentesi di Lie, rispetto a questa gradazione soddisfino

${\displaystyle [{\mathfrak {g}}_{i},{\mathfrak {g}}_{j}]\subseteq {\mathfrak {g}}_{i+j}.}$

Una superalgebra di Lie graduata su un campo o su un anello ${\displaystyle k}$ (che ha caratteristica diversa da 2) e definita come uno spazio vettoriale graduato ${\displaystyle E}$ su ${\displaystyle k}$ con un'operazione bilineare

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon E\otimes _{k}E\rightarrow E}$

che soddisfi alle seguenti proprietà:

• ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ rispetti la gradazione di ${\displaystyle E}$:

${\displaystyle [E_{i},E_{j}]\subseteq E_{i+j};}$

• (simmetria) se ${\displaystyle x\in E_{i}}$ e ${\displaystyle y\in E_{j},}$ allora:

${\displaystyle [x,y]=-(-1)^{ij}[y,x];}$

• (identità di Jacobi) se ${\displaystyle x\in E_{i},}$ ${\displaystyle y\in E_{j}}$ e ${\displaystyle z\in E_{k},}$ allora:

${\displaystyle (-1)^{ik}[x,[y,z]]+(-1)^{ij}[y,[z,x]]+(-1)^{jk}[z,[x,y]]=0.}$

• Nijenhuis, A., and Richardson, R. W. Jr., "Cohomology and deformations in graded Lie algebras", Bull. AMS 72 (1966), 1-29.
• Kac, V. G. Lie superalgebras. Advances in Math. 26 (1977), no. 1, 8--96.
• Manin, Yuri I. Gauge field theory and complex geometry. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 289. Springer-Verlag, Berlin, 1997. ISBN 3-540-61378-1
• Pavel Grozman, Dimitry Leites and Irina Shchepochkina. "LIE SUPERALGEBRAS OF STRING THEORIES"

• Algebra supersimmetrica
• Numeri di Grassmann
• Numero duale
• Superalgebra
• Supersimmetria
• Superalgebra di Lie
• Superalgebra di Poincaré

• (EN) "LIE SUPERALGEBRAS OF STRING THEORIES", Pavel Grozman, Dimitry Leites and Irina Shchepochkina.

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