Parallelismo in geometria iperbolica

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La nozione di parallelismo in geometria iperbolica differisce molto da quella presente nella geometria euclidea. Essenzialmente, esistono due tipi di parallelismo in geometria iperbolica: due rette (o oggetti più generali) in uno spazio iperbolico possono essere

• asintoticamente paralleli se sono paralleli ma "si incontrano all'infinito".
• ultraparalleli se sono paralleli e divergono all'infinito.

L'aspetto nuovo della geometria iperbolica, non presente nella euclidea, è proprio la possibilità di avere rette ultraparallele. Un'altra differenza sta nel fatto che il parallelismo in geometria iperbolica non è una relazione di equivalenza, perché non vale la proprietà transitiva.

Due rette nel piano iperbolico possono essere essenzialmente di tre tipi.

Due rette sono secanti se si intersecano in un punto. Due rette non secanti sono parallele. Esistono però due nozioni ben diverse di parallelismo.

Due rette parallele sono asintoticamente parallele se vale uno dei seguenti fatti equivalenti:

• le due rette hanno un punto all'infinito in comune;
• esistono coppie di punti sulle due rette arbitrariamente vicini (cioè per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$ esistono due punti ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ appartenenti alle due rette con distanza minore di ${\displaystyle \varepsilon }$);
• non esiste nessuna retta perpendicolare a entrambe;
• esiste un orociclo perpendicolare a entrambe.

Due rette parallele sono ultraparallele se vale uno dei seguenti fatti equivalenti:

• le due rette non hanno punti all'infinito in comune;
• la distanza fra punti è limitata inferiormente (cioè esiste ${\displaystyle M>0}$ tale che la distanza fra due punti ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ appartenenti alle due rette è sempre maggiore di ${\displaystyle M}$);
• esiste una retta perpendicolare a entrambe;
• non esiste nessun orociclo perpendicolare a entrambe.

La retta perpendicolare ad entrambe è in realtà unica.

Lo stesso argomento in dettaglio: Angolo di parallelismo.

Il quinto postulato iperbolico asserisce che, data una retta ${\displaystyle l}$ ed un punto ${\displaystyle P}$ disgiunto da ${\displaystyle r}$, esistono almeno due rette parallele a ${\displaystyle r}$ passanti per ${\displaystyle P}$. Dal postulato risulta però che tali rette sono infinite: questo segue dai fatti seguenti.

1. Sia ${\displaystyle B}$ il punto di ${\displaystyle l}$ più vicino a ${\displaystyle P}$. Il segmento ${\displaystyle PB}$ è perpendicolare a ${\displaystyle l}$ (si veda la figura). Ogni retta ${\displaystyle s}$ passante per ${\displaystyle P}$ è adesso identificata dall'angolo ${\displaystyle \theta }$ che forma con il segmento ${\displaystyle PB}$. L'angolo è detto angolo di parallelismo di ${\displaystyle l}$ e ${\displaystyle s}$.
2. Se due rette ${\displaystyle s_{1}}$ e ${\displaystyle s_{2}}$ sono parallele a ${\displaystyle l}$, queste formano angoli diversi ${\displaystyle \theta _{1}}$ e ${\displaystyle \theta _{2}}$: ogni altra retta con un angolo compreso fra ${\displaystyle \theta _{1}}$ e ${\displaystyle \theta _{2}}$ risulta essere parallela a ${\displaystyle l}$.

Le rette parallele a ${\displaystyle l}$ passanti per ${\displaystyle P}$ sono tutte e sole le rette con angolo di parallelismo appartenente ad un intervallo chiuso ${\displaystyle [\theta ,\pi -\theta ]}$. Le rette con angolo di parallelismo ${\displaystyle \theta }$ e ${\displaystyle \pi -\theta }$ sono asintoticamente parallele a ${\displaystyle l}$: in una direzione queste si avvicinano sempre più a ${\displaystyle r}$, senza mai intersecarla. Tutte le rette con angolo di parallelismo compreso fra ${\displaystyle \theta }$ e ${\displaystyle \pi -\theta }$ sono invece ultraparallele rispetto a ${\displaystyle l}$.

Il parallelismo in geometria iperbolica non è (a differenza di quanto accade nella geometria euclidea) una relazione d'equivalenza. In particolare, non è vero che se ${\displaystyle r}$ è parallelo a ${\displaystyle s}$ e ${\displaystyle s}$ è parallelo a ${\displaystyle t}$ allora ${\displaystyle r}$ è parallelo a ${\displaystyle t}$. Per mostrare ciò basta prendere ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle t}$ due rette distinte passanti per un punto ${\displaystyle P}$ non contenuto in ${\displaystyle s}$.

• Parallelismo (geometria)
• Geometria iperbolica
• Spazio iperbolico

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